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1、【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-17 图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：在小边界上，能精确满足下列应力边界条件：在小边界上，能精确满足下列位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，可求得固定端约束反
2、力分别为：由于为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：图2-18上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有在x=l的小边界上，可应用位移边界条件这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】
3、由于，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a)上端面OA面上面力由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有(对OA中点取矩)()应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答： 图2-20 图2-21（a）图2-20，。【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边
4、界条件（2-15）。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且 显然满足（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。（b）图2-21，由材料力学公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的解答:，。又根据平衡微分方程和边界条件得出：。试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：。根据平衡微分方程第二式（体力不计）。得： 根
5、据边界条件得 故 将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 满足第二式 自然满足将应力分量代入相容方程（2-23）应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程，横截面对中性轴的惯性矩为，根据材料力学公式弯应力；该截面上的剪力为，剪应力为取挤压应力（2）将应力分量代入平衡微分方程检验第一式： 第二式：左=0+0=0=右
6、该应力分量满足平衡微分方程。（3）将应力分量代入应力表示的相容方程 满足相容方程（4）考察边界条件在主要边界上，应精确满足应力边界条件(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩满足应力边界条件在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效： 满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。第一章 平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】相容
7、条件:不论系数a取何值，应力函数总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察分布情况，注意到，故y向无面力左端: 右端: 应力分布如图所示，当时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩A主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：同理可知，当0时，可以解决偏心压缩问题。【3-5】取满足相容方程的应力函数为：试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边
8、界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解答】（1）由应力函数，得应力分量表达式考察边界条件，由公式（2-15）主要边界，上边界上，面力为 主要边界，下边界，面力为 次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为x向主矢：y向主矢：主矩：次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为x向主矢：y向主矢：主矩：弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式，考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得在主要边界，上边界上，面力为在，下边界上，面力为在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分
9、边界条件求得：在左边界x=0，面力分布为面力的主矢、主矩为x向主矢：y向主矢：主矩；在右边界x=l上，面力分布为面力的主矢、主矩为x向主矢：y向主矢：主矩：弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示（3）将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：左边界x=0上，面力分布为右边界上，面力分布为面力的主矢、主矩为x向主矢y向主矢：主矩：弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示【3-6】试考察应力函数，能满足相容方程，并求出
10、应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：在主要边界上（上下边界）上，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力因此，在主要边界上，无任何面力，即在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：因此，各边界上的面力分布如图所示：在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：(a
11、) (b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。【3-7】试证能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。【解答】(1)将应力函数代入式（2-25），代入（2-25），可知应力函数满足相容方程。（2）将代入公式（2-24），求应力分量表达式:(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：在主要边界（上面），应精确满足应力边界条件（2-15）应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:在次要边界上，分布面力为应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的
12、主矢与主矩，如图 (a) (b)因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。【解答】采用半逆法求解。由材料力学解答假设应力分量的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力主要与截面的弯矩有关，剪应力主要与截面的剪力有关，而挤压应力主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则(2)推求应力函数的形式将，体力，代入公式（2-24）有对y积分，得 （a） （b）其中都是x的待定函数。（3）由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（2-25），得 （c）在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即两个方程要求 （d）中的常数项，中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数 （e）（4）由应力函数求应力分量 （f） (g) (h)(5)考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。主要边界上（左）：将（f），（h）代入，自然满足 （i）主要边界上，自然满足，将（h）式代入，得 （j）在次要边界上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件： （k） （l）
