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1、几何几何-空间几何空间几何-正四面体专题正四面体专题 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 内切球 O， 经过该棱锥 ABCD 的中截面为 M， 则 O 到平面 M 的距离为 （） ABCD 2已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，球 O 与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球 O 的表面积 为（） A4B2 CD 3已知球 O 在一个棱长为的正四面体内，如果球 O 是该正四面体的最大球，那么球 O 的表面积等于（） ABC2D 4半径为 1 的球面上的四点 A，B，C，D 是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（） ABCD
2、 5正四棱锥 PABCD 的侧棱长和底面边长都等于 a，有两个正四面体的棱长也都等于 a当这两个正四面体各有 一个面与正四棱锥的侧面 PAD，侧面 PBC 完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（） A五面体B七面体C九面体D十一面体 6 （2006江西）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面 积分别是 S1，S2，则必有（） AS1S2 BS1S2 CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定 二填空题（共二填空
3、题（共 14 小题）小题） 7已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 有内切球 O，经过该棱锥 ABCD 三侧棱中点的截面为，则 O 到平面的距离 为 _ 8在正四面体 ABCD 中，其棱长为 a，若正四面体 ABCD 有一个内切球，则这个球的表面积为 _ 菁优网菁优网 2010-2012 菁优网 9已知正四面体棱长为 a，则它的外接球表面积为_ 10正四面体 ABCD 的棱长为 1，则其外接球球面上 A、B 两点间的球面距离为_ 11正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB平面，则正四面体上所有点在平面内的射影所构成的图形面积的取值 范围为_ 12 （2006浙江）正四面体 ABCD 的棱
4、长为 1，棱 AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图 形面积的取值范围是_ 13已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范 围为_ 14四面体 ABCD 中，AB=CD=6，其余的棱长均为 5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于 _ 15正四面体的棱长为 a，它的体积为_ 16棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，对棱 AB、CD 之间的距离为_ 17已知球 O 是棱长为 12 的正四面体 SABC 的外接球，D，E，F 分别是棱 SA，SB，SC 的中点，则平面 DEF 截球 O 所得截面的面积是_ 18与
5、四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为 1 的正四面体的旁切球 的半径 r=_ 19已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是 BC 的中点，G 是三角形 ABC 重心，则=2”若把该结论推广到空 间，则有结论：“在正四面体 ABCD 中，若BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等， 则=_ 20设等边ABC 的边长为 a，P 是ABC 内的任意一点，且 P 到三边 AB，BC，CA 的距离分别为 d1，d2，d3， 则有 d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体 ABCD 的棱长为 a，P 是正四面
6、体 ABCD 内的任意一点，且 P 到四个面 ABC、ABD、ACD、BCD 的距离分别为 d1，d2，d3，d4，则有 d1+d2+d3+d4 为定值_ 菁优网菁优网 2010-2012 菁优网 几何几何-空间几何空间几何-正四面体专题正四面体专题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 内切球 O， 经过该棱锥 ABCD 的中截面为 M， 则 O 到平面 M 的距离为 （） ABCD 考点： 点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。1455213 专题： 计算题。 分析： 先利用棱长为 a 的正四面体 A
7、BCD 的高的公式：h=a，再利用内切球 O 的半径即为高的，最后利用 O 到平面的距离正好是高的 ，从而得到结果 解答： 解：记棱锥 ABCD 的高为 AO1，且 AO1=a O 在 AO1上且 OO1= AO1； AO1与面交于 M，则 MO1= AO1， 故 MO=OO1= AO1= 故答案为： 故选 C 点评： 本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 2已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，球 O 与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球 O 的表面积 为（） A4 B2 CD
8、 考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征。1455213 菁优网菁优网 2010-2012 菁优网 专题： 计算题。 分析： 将正四面体 ABCD，补成正方体，则正四面体 ABCD 的棱为正方体的面上对角线，根据球 O 与正四面体的 各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球 O 是正方体的内切球，从而可求球 O 的表面积 解答： 解：将正四面体 ABCD，补成正方体，则正四面体 ABCD 的棱为正方体的面上对角线 正四面体 ABCD 的棱长为 1 正方体的棱长为 球 O 与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部， 球 O 是正方体的内切球，其直径为 球 O 的表面积为 故选 C 点
9、评： 本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体 ABCD，补成正方体，使得球 O 是正方体的内切球 3已知球 O 在一个棱长为的正四面体内，如果球 O 是该正四面体的最大球，那么球 O 的表面积等于（） ABC2D 考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征。1455213 专题： 计算题。 分析： 已知球 O 在一个棱长为的正四面体内， 如果球 O 是该正四面体的最大球， 那么球 O 与此正四面体的四 个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，再由公式求体积 解答： 解：由题意，此时的球与正四面体相切， 由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3 又顶点到底面的投影
10、在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的 ，又高为=3， 故底面中心到底面顶点的距离都是 2 由此知顶点到底面的距离是=2 此正四面体的体积是 23=2 又此正四面体的体积是 r34，故有 r= 球 O 的表面积等于 4=2 故选 C 点评： 本题考查球的体积和表面积，解答本题关键是理解球 O 是该正四面体的最大球，从中得出此时球是正四面 体的内切球，从而联想到用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正 确解题的知识保证 4半径为 1 的球面上的四点 A，B，C，D 是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（） ABCD 菁优网菁优网 2010-2012
11、 菁优网 考点： 棱锥的结构特征。1455213 专题： 计算题。 分析： 由已知可得，半径为 1 的球为正四面体 ABCD 的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易 得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长 解答： 解：正四面体是球的内接正四面体， 又球的半径 R=1 正四面体棱长 l 与外接球半径 R 的关系 l= 得 l= 故选 D 点评： 注意牢记：边长为 1 的正三角形，高为，内切圆的半径为，外接圆半径为；棱长为 1 的正四面体， 侧高为， 侧面内切圆的半径为， 侧面外接圆半径为； 高为， 内切球半径为， 外接球半径为 5正四棱锥 PABCD 的侧棱长和底面边长都等于 a，有两
12、个正四面体的棱长也都等于 a当这两个正四面体各有 一个面与正四棱锥的侧面 PAD，侧面 PBC 完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（） A五面体B七面体C九面体D十一面体 考点： 棱锥的结构特征。1455213 专题： 探究型。 分析： 由正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为 arccos（ ） ，可知得到的新多面体为五面体 解答： 解：正四面体每相邻二个面所成的二面角为 arccos ， 题目所说的正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为 arccos（ ） ， 所以得到的新多面体为五面体 故选 A 点评： 本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答 6 （2006江西）如图，在
13、四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面 积分别是 S1，S2，则必有（） AS1S2 BS1S2 CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定 菁优网菁优网 2010-2012 菁优网 考点： 球内接多面体。1455213 专题： 计算题；综合题。 分析： 比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较 解答： 解：连 OA、OB、OC、OD， 则 VABEFD=VOABD+VOABE+VOBEFD+
14、VOAFD VAEFC=VOAFC+VOAEC+VOEFC又 VABEFD=VAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径， 又 面 AEF 公共， 故 SABD+SABE+SBEFD+SADF=SADC+SAEC+SEFC故选 C 点评： 本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题 二填空题（共二填空题（共 14 小题）小题） 7已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 有内切球 O，经过该棱锥 ABCD 三侧棱中点的截面为，则 O 到平面的距离 为 考点： 点、线、面间的距离计算。1455213 专题： 计算题。 分析： 先利用棱长为 a 的正四面体
15、ABCD 的高的公式：h=a，再利用内切球 O 的半径即为高的 ，最后利用 O 到平面的距离正好是高的 ，从而得到结果 解答： 解：记棱锥 ABCD 的高为 AO1，且 AO1=a O 在 AO1上且 OO1= AO1； AO1与面交于 M，则 MO1= AO1， 故 MO=OO1= AO1= 故答案为： 菁优网菁优网 2010-2012 菁优网 点评： 本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 8在正四面体 ABCD 中，其棱长为 a，若正四面体 ABCD 有一个内切球，则这个球的表面积为 考点： 球的体积和表面积。1455213 专题： 计算题。 分析： 作出正四面体的图形，球的球心位置，说明 OE 是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面 积 解答： 解：如图 O 为正四面体
