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1、【例例 1】 如图，在中，垂足为分别是Rt ABCABACADBC，DEF、 上的点，且如果，那么_CDAD、CEAF62AEDDBF F ED CB A 【答案】28 【例例 2】、分别是正方形的、边上的点，且求证：EFABCDBCCDBECF AEBF P F E D C B A 【答案】在和中ABEBCF ABBC ABEBCF BECF ABEBCFBAECBF 90BAEAEB 90CBFAEB AEBF 【例例 3】、分别是正方形的、边上的点，EFGABCDBCCDABGEEF 求证：GEEFBGCFBC G A B C D E F 【例例 4】 如图，矩形中，是上一点，交于点，若
2、，矩ABCDEADCEEFABF2DE 形周长为，且，求的长16CEEFAE E D CB F A 【答案】，FEEC90AEFDEC ，90AEFAFE AFEDEC 在三角形与中，AFEDECFECE90AD ，AFEDEC AFEDEC AEDC 矩形周长为，16 8ADDC ，ADAEDE 且2DE 28AEDE 即3AE 【例例 5】 如图，已知中，三角形的顶点在相互平行的三条ABC90ABCABBC， 直线上，且之间的距离为，之间的距离为 ，则的长是 123 lll， 12 ll，2 23 ll，3AC _ C B A l3 l2 l1 【答案】2 17 【例例 6】 两个全等的、
3、的三角板、，如右下图所示摆放，、在3060ADEBACEAC 一条直线上，连结取的中点，连结、，试判断的形BDBDMMEMCEMC 状，并说明理由 M E D C B A 【解析】判断是等腰直角三角形理由：EMC 如图，连结AM D M B CA E ，30DAE60BAC90DAB ，ADEBACADAB 又是的中点，MBDAMDMBM 45ADMMAB 6045105EDMEDAADM 4560105MACMABBAC EDMMAC ，EDCAEDMCAM ，EMCMDMEAMC 而，90DMEEMA 90AMCEMA 即，是等腰直角三角形90EMCEMC 【例例 7】 已知等腰直角三角形
4、，为直角，为的中点求证：ABCCMBCCDAM 求证：AMCDMB AMCDMB M D C B A 【例例 8】 如图所示，已知在等腰直角三角形中，是直角，是上一点，ABCBACDAC ，的延长线交于，若，求证：是的中AEBDAEBCFADBFDC DAC 点 F E D C B A 【答案】过作垂直于交延长线于点；CCHACAFH 易证，；进而证明，得到，则ABDAHCHCADFHCFDCHCCD 为中点DAC H F E D C B A 【例例 9】 如图所示，在等边中，为的中心，为的中点，ABCDEBCOADEMBE 求证OMCM M CB A ED O 【答案】如图所示，延长至点，使
5、，连接、OMNOMMNOA 、OEOCBNCN N M C B A E D O N M CB A E D O 因为，OMNMBMMEOMENMB 故，则，BMNEMOBNEOOEMNBM 因为，则，DEBCDEBCBE OEDCBN 因为为的中心，则，OADEOAOEBN30OAEOEDCBN 因为，故，从而ACBCAOCBNCOCCN 因为，故OMMNOMCM 【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法 如图所示，取的中点，连接、AENMNOAONOC 因为为的中心，故，OADE30OAN2OAON 因为，故ANNEBMEM2ABMNAC 因为，故，ONACMNAB60MNE
6、 因为，故，则、30ONMOACONMOMNOCN OMC 四点共圆N 因为，故ONACOMCM 【例例 10】已知为等腰直角的斜边上任意一点，、分别为、PABCABPEPFAC 之垂线，垂足为、为之中点则、组成等腰直角三BCEFMABEMF 角形 M P F E CB A 【答案】解法一： 如图，连接，则为之中线，亦为之高CMCMABAB P M B A F E C 90CMA ，90PECPFCECF 为矩形，故ECFPPECF 又，45A 为等腰直角三角形，AEPAEPEAECF 又，CMAM45MCFA ，AEMCFM ，AMECMF EMFM ，90CMEAME ，即90CMECMF
7、 90EMF 为等腰直角三角形EMF 解法二： 如图，由作，则显然由于为之中点，MMEAC MFBC MAB ，ACBCACBC P M B A F E CF E Q 为正方形，故ME CFMEMF 又设交于， ME PFQ 则，PEACPFBC 而90EPFC 90PEEEE Q 为矩形，故EE QPEEPQ 同理FFQM 又，PFAC45QPMA 为等腰直角三角形，PQM ，故PQQMEEFF 又，MEMF90EE MFF M ，EE MFF M ，EMEFMF EMFM 又，90E MFFMF 90E MFEME 即，故为等腰直角三角形90EMFMEF 解法三：如图，延长到，使，连接FM
8、QMQFMAQ P M B A F E C Q ，AMBM 、点组成平行四边形AFBQ4 ，AQFBAQFB 又，BCACAQAC 90QAEFCE 又，同理PFBC45BFPFBEPAE 为矩形，ECFP ，故而，FPCEEPCFABCMAB ，AQCEAECF RtRtAEQCFE ，EQFEAQECEF QEAEFC ，90AQEQEA 故90CEFQEA 2 PF QF 为等腰直角三角形而为底边之中点，所以亦为等腰直角三角FEQMEMF 形 解法四：如图，连接，则因为为之中点，所以，平分CMMABCMABCM ，即由向引垂线，向引垂线，显然ACB45MCBFMBFQCM FF 为矩形则
9、F FQMFFMQ P M B A F E C F Q 又为等腰直角三角形， CF F 22CFFFMQ 又，PEACPFBCACBC 为矩形，故ECFP2EPCFMQ 于是在和中，Rt EPFRt MQF2PFFBQF2 PF QF 2 EP MQ ， PFEP QFMQ ，故EPFMQFEFPMFQ 又，45PFMMFQ ，即45PFMEFP PFBF 同理，为等腰直角三角形45FEMEMF 解法五：如图，连接、CPCM P M B A F E C ，为等腰直角三角形，PFBFABC 45BPFBCM 、点共圆PCFM4CMFCPF 又，、点共圆CPFCEF CEFCMF ECFM4 45
10、MEFMCF ，45MFEMCE ，iEMF是等腰直角三角形 【例例 11】长方形中，的角平分线交于点，ABCD4AB 7BC BADBCE 交于，则_EFEDABFEF F E D CB A 【解析】由，平分可知 由基本图可知4AB AEBAD4BEABCD ，故又，故由勾股定理可知， BEFCDEEFDE7BC 4BE 3CE 5DE 从而可知5EF 【答案】5 【例例 12】如图，设和都是正三角形，且，则 的度数ABCCDE62EBDAEB 是( ) A BC D124122120118 1 A D B C E 【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系 解 易知
11、， ACEBCD AECBDC 于是,从而,EACDBC EBDCBDCBEEACCBE 在考虑到,有：360EACAECACECEBECBEBD o 从而，选 B。3606062360BECAECAEB oooo 122AEB o 【例例 13】已知：是的高，点在的延长线上，点在BD CE、ABCPBDBPACQ 上，求证：；CECQABAPAQAPAQ P D Q CB E A 【答案】如图，设交于CEBDF 由，知BDCACEAB 90BEFCDF 而，BFECFD 故ABDQCA 由已知，有，从而，ABQCBPCAABPQCA 即有APAQ 由可得，而AQCPAB 90AQCQEAQA
12、EQAE PABPAQQAE 从而可得，即90PAQAPAQ 【例例 14】如图，的边在直线 上，且；的边ABCBClACBCACBCEFP 也在直线 上，边与边重合，且FPlEFACEFFP 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和ABAP 位置关系； 将沿直线 向左平移到图 2 的位置时，交于点，连结，EFPlEPACQAP 猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；BQBQAP 将沿直线 向左平移到图 3 的位置时，的延长线交的延长线于点EFPlEPAC ，连结，你认为中所猜想的与的数量关系和位置关系还成QAPBQBQAP 立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 l PC(F)B A(E) Q l PF E CB A Q AE BCF P l 4 3 2 1 A BC E FP l Q N l PF CB EA Q 【答案】 （1）；ABAPABAP （2）；BQAPBQAP 由已知，得，EFEPEFFP，45EPF 又，ACBC45CQPCPQ CQCP 在和中，Rt BCQRt ACP ， 90BCACBCQACPCQCP ， ，RtRtBCQACPBQAP 如图，延长交于点BQAPM ，RtRtBCQACP12 在中，又，RtBCP1390 34 241390 90QMA
