《激光原理3.1光学谐振腔的衍射理论(2014)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《激光原理3.1光学谐振腔的衍射理论(2014)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 章激光器的输出特性第 3 章激光器的输出特性在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?稳态场分布的形成:可看成光在两镜面间往返传播的结果!传播的结果!方方方方法法一个镜面上的场一个镜面上的场另一个镜面上的场另一个镜面上的场求解求解衍衍射射积分积分方方程程! !高福斌高福斌/291求解射方求解射方! !3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式一一.惠更斯惠更斯 - 菲涅尔提出子波及子波干涉的概念菲涅尔提出子波及子波干涉的概念1) 波传到的任意点都是子波的波源2) 各子波在空间某点进
2、行相干叠加概括为：2) 各子波在空间某点进行相干叠加概括为：波面上各点均是相干子波源惠菲原理提供了用干涉解释衍射的基础菲涅耳发展了惠更斯原理从而深入认识了衍射现象从而深入认识了衍射现象它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础理论基础高福斌高福斌/292理论基础理论基础二. 惠更斯菲涅耳原理二. 惠更斯菲涅耳原理设波阵面上任一源点的光场复振幅为，则空间任一观察点P的光场复振幅由下列积分式计算：P) ( Pu)(Pu)cos1 ()( 4)(dsePuikPuik+=(3 1)4PP原点与观察点之间的距离原点与观察点之间的距离(3-1)图3
3、1 惠更斯 菲涅耳原理Pn?PP原点处的法线与的夹角原点处的法线与的夹角k光波矢光波矢，为光波波长为光波波长2=k图3-1 惠更斯-菲涅耳原理P光波矢光波矢，为光波波长为光波波长ds原点处的面元原点处的面元功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场高福斌高福斌/293在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。3.1.2 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程光学谐振腔的自再现模积分方程光学谐振腔的自再现模积分方程光学谐振腔的自再现模积分方程一一、开腔模的一般物理概念开腔模的一般物理概念r1r2一一、开腔模的一般物理概念开腔模的一般物理概念1、理想开腔模型
4、12两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。可忽略腔侧壁的不连续性决定衍射效应的孔2决定腔模形成的损耗主要是腔镜边缘的衍射可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘决定！2、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损耗，其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例衰减！高福斌高福斌/334相同比例衰减！二、腔模自再现物理过程的形象化描述和定性解释二、腔模自再现物理过程的形象化描述和定性解释孔阑传输孔阑传输孔阑传输孔阑传输设平行平面腔如图 (a)所示，两块反射镜的直径均为2a，腔长为以此腔为例来分析光波在腔内的往返传播对横向腔长为L。以此腔为例，来分析光波在腔内的往返传播对横向光场
5、分布的影响。高福斌高福斌/335为了更形象地理解在这种开腔内如何形成稳定的光场分布为了更形象地理解在这种开腔内如何形成稳定的光场分布，可用孔阑传输线来模拟谐振腔。如图 (b)所示，孔阑传输线是由系列间距等于腔长孔径等于反射镜直径的同轴圆孔构成一系列间距等于腔长，孔径等于反射镜直径的同轴圆孔构成，这些圆孔开在平行放置的无限大的、完全吸收屏上。高福斌高福斌/336光波在谐振腔内的往返传播，可等效于光波在孔阑传输线光波在谐振腔内的往返传播，可等效于光波在孔阑传输线上的单方向传播，开腔中稳定光场分布的形成，可用光在孔阑传输线上的传播来说明传输线上的传播来说明。高福斌高福斌/337设初始时刻有一均匀平面
6、波垂直入射到第一个圆孔上，此设初始时刻有均匀平面波垂直入射到第个圆孔上，此时，该孔径内的场分布是均匀的。穿过第一个圆孔后，由于衍射作用，部分光将偏离原来的传播方向，光场分布将产生衍射射作用，部分光将偏离原来的传播方向，光场分布将产生衍射旁瓣而不再是均匀平面波了，使光波的振幅和相位分布均发生一些变化。些变化。高福斌高福斌/338到达第二个圆孔时，射到圆孔以外的光将被屏完全吸收，因此光波边缘部分的能量将比中心部分弱。当穿过第二个孔时，再发生衍射作用，到达第三个圆孔处，又有部分光场能量由于扩展到孔外而被吸收，使得边缘处的光场更弱。顺次通过第三、第四个圆孔时将继续发生上述过程。每通过一次圆孔，光场的振
7、幅和相位就发生一次改变，这样，在通过足够多的圆孔后，光波的振幅和相位分布受衍射的高福斌高福斌/339影响越来越小，以至于形成一种稳定的分布而不再变化。三、自再现模概念三、自再现模概念1 1 模模光腔中可能存在的电磁场空间分布状态1 1. .模模: : 光腔中可能存在的电磁场空间分布状态）面内的场的分布，横模模的电磁场理论（横截的相对功率损耗模在腔内往返一次经受纵模）模的简谐频率模的基本特征( 散角每一个模的激光束的发2.自再现模：2.自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。（在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布）（在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布）3.往返损耗：3.往返损耗：
8、自再现模往返一次的损耗。4.往返相移：4.往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等于2的整数倍。高福斌高福斌/3310。五. 五. 自再现模自再现模积分方程积分方程图图3-2 镜面上场分布的计算示意图镜面上场分布的计算示意图图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔镜面M 和()M上分别建立了坐标轴, 两两相互平行的坐标x-y和x-y 。利用上式由镜面M上的光场分布可以计算y 。出镜面 M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。高福斌高福斌/33111( , )qux y+( )图图3-2 镜面上场分布的计算示意图镜面上场分布的计算示意图( ,)qux y假设为经过q次渡越后在某一镜面上所形
9、成的场分布，表示光波经过q+1次渡越后，到达另) , (yxuq),(1yxuq+一镜面所形成的光场分布，则与之间应满足如下的迭代关系：1+ququ)cos1 () , (4),(1dseyxuikyxuikqq+=+(3-2)高福斌高福斌/33124M惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理? 考虑对称开腔的情况按照自再现模的概念除了? 考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uq+1应能够将uq再现出来，两者之间应有关系：uq+1应能够将uq再现出来，两者之间应有关系：1( , )( , )qqux yux y+=(3-3) 与坐标与坐标(x,y)及及
10、(x,y)无关的无关的复常数复常数? ? 综合(3-2)和(3-3)两式可得：()( )(1cos )ikikeux yuxyds=+(3-4)( , )(,)(1cos )4qqMux yuxyds=+去掉q得自再现模积分方程(3 4)去掉q，得自再现模积分方程( , )( ,)(1 cos )ikikeu x yu x yds=+(3-5)高福斌高福斌/3313( , )( ,)()4Myy( , )( ,)(1 cos )4ikMikeu x yu x yds=+图图3-2 镜面上场分布的计算示意图镜面上场分布的计算示意图L腔长腔长R反射镜曲率半径反射镜曲率半径a反射镜的线度反射镜的线度
11、因为所以作两点近似处理： aRL 很小cos=1，1+ cos=2因为, 所以作两点近似处理： aRL, L （不同的腔面做不同的近似）高福斌高福斌/2914将以上近似代入(3-5)，得到自再现模所满足的积分自再现模所满足的积分方方（受射影响的稳态布数）方方程程（不受衍射影响的稳态场分布函数）()( )(1 cos )ikikeu x yu x yds+(3 5)( , )( ,)(1 cos )4Mu x yu x yds=+(3-5)ikik( , )( ,)24ikMikeu x yu x ydsL= (), , ,( ,)ikx y x yieLu x y ds=()( )K x y
12、x yux yux y ds=(3-6)ML( , ,( , )( ,),)mnmnqK x y x yux yux y ds(3 6)称为积分方程的核()K x y x y高福斌高福斌/2915称为积分方程的核。( , ,)K x y x y) , () , ,(),(dsyxuyxyxKyxu=(3-6)umn和mn的下标表示该方程存在一系列的不连续的),(),(),(dsyxuyxyxKyxuqmnmn(3 6)umn和mn的下标表示该方程存在系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。可以存在许多不同的自再现模。(3-6)式的解包括两个方面:
13、本征函数u(x,y)是复函数，其模代表镜面上光场振幅分布幅角代表镜面上光场的相位分布;振幅分布，幅角代表镜面上光场的相位分布;本征值也是个复数,其模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。幅角代表单程渡越后模的相位滞后。高福斌高福斌/3316六六. . 积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义六六. . 积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义(1) 本征函数本征函数 umn和激光横模和激光横模?本征函数umn的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3
14、-3为各种横模光斑。高福斌高福斌/3317图3-3 横模光斑示意图(2) (横模横模) 标记标记: TEMmn，m, n 横模序数(3)本征值本征值 mn和单程衍射损耗、单程相移和单程衍射损耗、单程相移( ) ()mn( )mn? 本征值 mn的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。? 损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射，损耗，称为单程衍射损耗，用表示。定义为2212qquuu+=(3-9)(3-8)21= 1qqquuu+=(3 9)(3-3)1mnmn=高福斌高福斌/33181qq+?本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。uuuuargargarg+=,a
15、rg()iUU eU=qqqquuuuargargarg11+=+?自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为argargarg1=+qquu(3-10)(3 11)ggg1+qq?自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等(3-11)于由腔长L L 所决定的几何相移，它们的关系为kL = + (3-12)argargmnmnkLkL = + =+ =(3 12)(3-13)高福斌高福斌/3319附加相移附加相移附加相移附加相移3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模一.谐振条件和驻波条件一.谐振条件和驻波条件在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干
16、涉在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉而得到加强。相长干涉条件 （波从某一点出发经腔内往相长干涉条件 （波从某点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相）(1) 光波在往返的总相移应等2 的整数倍(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件22 1,2,3,qq =?(3-14)高福斌高福斌/3320(2) 腔内产生驻波的条件 *(光学腔长等于半波长的整(2) 腔内产生驻波的条件 *(光学腔长等于半波长的整数倍) 0qc2 0qqLL=00qqv=谐振频率谐振频率其它波长（频率）都被相消干涉所淘汰只有其它波长（频率）都被相消干涉
17、所淘汰，只有0q(0q)才能产生振荡，可通过改变L来选择0q(0q)故称为选频故称为选频。从能量重新分布的角度来考虑，0q的能量被加高福斌高福斌/3321q强了，其他频率的被减弱了。二、 纵模(纵向的稳定场分布)二、 纵模(纵向的稳定场分布)(1) 激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布定场分布(2) 纵模序数：整数q称为纵模的序数每个每个q值对应一个驻波值对应一个驻波 qq-1q-1q-1高福斌高福斌/3322每个每个q值对应一个驻波值对应一个驻波22kLqccqqc= + =+(3 15)222222mnqmnk cLqLL =+=(3-15)Lqcmnq2=(3-16)L
18、22qcqL=q 阶纵模频率可以表达为：基纵模的频率可以表达为：12cL=高福斌高福斌/3323谐振腔内谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍倍)三三. . 纵模频率间隔纵模频率间隔三三. . 纵模频率间隔纵模频率间隔(1) 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔22mnqmnqccLL=+Lcqqq21=+(3-17)L2（a）频率梳纵模等距排列 *(在频率空间)（ ）()高福斌高福斌/3324四四、激光器中出现的纵模数激光器中出现的纵模数四四、激光器中出现的纵模数激光器中出现的纵模数高福斌高福斌/3325（第二章）五.选纵模五.选纵模1 确定起
19、振纵模数1.确定可起振纵模数目q的因素(1)荧光线宽 *( 自发发射线宽): F大则q 大11 (只有)满足的纵模才能起振001212+FqF的纵模q才能起振.(2) 腔长: L 越大则 q 越大1 L大则小内可容1qL高福斌高福斌/3326图(3-4) 腔中允许的纵模数 L大则q小,F内可容更多个纵模例：L=30cmv =5108Hz其中只有三个频例：L=30cm，vq=510 Hz， 其中只有三个频率在原子 0.6328m线宽F范围内,所以激光器输出三个频率 称三纵模 (多纵模激光器)出三个频率, 称三纵模.(多纵模激光器)例: L=10cm 的He-Ne激光器中满足（3-16）的频率很多
20、，但形，成激光的只有其中之一,称为单模,高福斌高福斌/33272 数值例:2.数值例:(1) CO2激光器 : =10.6mvF108HzL=1mvq=1.5108Hz激光器输出单模，(2)氩离子激光器: =0.5145m，vF6108Hz L=1mv =1 5108HzL 1m ，vq1.510 Hz激光器多模输出高福斌高福斌/3328?形成激光振荡的条件形成激光振荡的条件：?形成激光振荡的条件形成激光振荡的条件：1 满足谐振条件满足谐振条件cq=1. 满足谐振条件满足谐振条件2 满足阈值条件满足阈值条件2qqLG2. 满足阈值条件满足阈值条件3 落在工作物质落在工作物质原子荧光线宽范围内原
21、子荧光线宽范围内的频率成分的频率成分totalG3. 落在工作物质落在工作物质原子荧光线宽范围内原子荧光线宽范围内的频率成分的频率成分高福斌高福斌/3329六. 工作物质饱和效应的影响六. 工作物质饱和效应的影响1.均匀增宽工作物质1.均匀增宽工作物质(a) 腔中的频率梳( )(b) 均匀增宽谱线v0附近 达到振荡阈值近 达到振荡阈值(c) 随着振荡加强,发( ),生增益饱和现象, 整个增益曲线下降(d) 单纵模形式运转高福斌高福斌/3330非均匀增宽介质非均匀增宽介质2. 非均匀增宽介质非均匀增宽介质(a) 腔中的频率梳(b) 非均匀展宽谱线(c) 满足cq=(c) 满足及阈值条件的纵模Lqq2在增益曲线上“烧孔”(d) 频率振荡高福斌高福斌/3331例例: 有一个谐振腔，腔长L=1m，求在1500MHz 的例例: 有个谐振腔，腔长L 1m，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数。解：谐振腔相邻两个本征纵模之间的频率间隔为c2qcvL=设折射率=1，则8 883 101.5 10 Hz22 1qcvL=在F F 范围内所包含的纵模个数：610105 . 110150086=qFvvm谐振腔可能包含的纵模个数为11高福斌高福斌/3332q模个数为111500MHz150MHz150MHz1600MHz150MHz高福斌高福斌/3333
