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1、第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律,振 动 与 声 基 础,3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程,主要内容,3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程,声音的产生,声音的产生,苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”,什么是声音？,声音的产生,声音是由声源的机械振动产生的，声源的振动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波。,声音的产生,声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件： 声源（ sound source）机械振动的物体 介质（medium ）机械振动赖以传播的介质,声音的产生,声音的产生,声波传播
2、时，介质质点只在平衡位置附近振动，并没有随声波传播。,声音的产生,声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。,声音的产生,纵波传播过程,声音的产生,纵波传播过程,声音的产生,横波传播过程,声音的产生,空气中和水中的声波的传播方向与质点振动方向是一致的，属于纵波。 固体中由于有切应力，除有纵波外，还同时存在横波。 仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性,声音的产生,声音的产生,声波在介质中传播的速度，称为声波的传播速度。,声音的产生,重点总结！,1、声音的实质声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件 （1）声源
3、（2）传声介质,3.1.1 基本声学量,主要内容,1、声压压强的变化量 2、质点振速介质运动速度的变化量 3、压缩量介质密度相对变化量,连续介质中，任意一点附近的运动状态可用压强、密度和介质的运动速度表示。 压强： 介质运动速度 密度,1、声压的基本概念,声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的压强比静压可大可小，声压有正有负。,1、声压的基本概念,声学中，也可用声压级（SPL）表示声压的大小。 SPL=20log10（p/pref）（dB） （分贝）,在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变化，可用质点位移或速度描述声场。,2、质点振速的基本概念
4、,设没有声波扰动时，介质的静态流速为 在声波的作用下流速变为 流速的改变量 即为介质质点的振动速度,振动速度的单位是 在空气中，1帕的声压对应的振速约为 相应于频率1000Hz声音的质点位移约为 声场中介质质点位移振幅是很小的 水中1帕的声音，相应的振速约为 相应于1000Hz声音的位移仅为 米 水中质点位移比空气中质点位移更小,2、质点振速的基本概念,米,设没有扰动时，介质的静态密度为 在声波的作用下变为,3、密度逾量,为介质中声场的密度逾量。,MKS制中，基本单位：kg/m3,为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）,定义：,定义：,注意：,声场中的质点振速和声波的传播速度 是两
5、个概念。,重点总结！,1、声压压强的变化量 2、质点振速介质流速的变化量 3、密度逾量介质密度的变化量,声学量描述声波作用的量。,波动方程的推导,声波的波动方程：描述声场空间、时间变化规律和相互联系的方程。,基本思路,波动方程,连续性方程 状态方程 运动方程,质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律） 牛顿第二定律（动量守恒定律),三个基本方程,三个基本物理定律,（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗; （2）流体，介质中任一面元受力方向总是 垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。 正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波-振动的传
6、播。,理想流体介质,假设条件,声波为小振幅声波线性波动方程,1、连续性方程 2、状态方程 3、运动方程,3.2.1 理想流体中三个基本方程,主要内容,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,依据质量守恒，建立 关系。,质量守恒定律，在连续介质中，如果流进与流出某一空间体积的流体质量不等，则必将引起该体积中介质密度的变化。,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,M点的密度为：,设某一瞬时t，介质质点流过M点的速度向量,单位时间内通过M点单位面积的介质质量为,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz 框中介质质量的变化：,dt时间段从AB
7、CD面流入dxdydz框中的质量：,dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量：,所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在dxdydz框中介质质量增加为：,同理, 时间内沿 方向流量在 中的净余量分别为,理想流体中三个基本方程,（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介质质量的变化：,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,所以，在dt时间段，介质质点流速 引起的在dxdydz框中介质质量的增加为：,1、连续性方程,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,（3）推导连续性方程,因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变了dxdydz框内介质的
8、密度：,流体的流动使得元体积内的质量增加 密度变化使得元体积内质量的增加,等于,1、连续性方程,依据质量守恒定律：,理想流体中三个基本方程,得：,-连续性方程,所以：,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,哈密顿算符： 梯度：标量函数 的梯度 散度：矢量场 的散度,理想流体中三个基本方程,数学知识,连续性方程表示为 称为流通密度:单位时间内流过与速度方向垂直的单位面积的质量。,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,连续性方程：表示流通密度在某一点散度的负值等于该点介质密度的时间变化率。,（4）均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方程,据，声学量定义，有：,小振幅波的含义是指：小振幅波的声学
9、量和声学量的 各阶时间或空间导数为一阶小量。,均匀的含义是指： 静止的含义是指： 由连续性方程：,得：,1、连续性方程,理想流体中三个基本方程,略去二阶小量：,理想流体中三个基本方程,1、连续性方程,1、连续性方程,连续性方程,理想流体中三个基本方程,！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方程为：,记住！,声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密度和压强都发生变化。 假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程，意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。,2、状态方程,理想流体中三个基本方程,依据热力学定律，建立 关系。,据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热力学参数只有三个。 例如，取热
10、力学参数：压强 、密度 及熵值 ，则有关系：,如果，在声波作用下， 经“等熵过程”，从 则在 点作 幂级数展开，有：,2、状态方程,理想流体中三个基本方程,如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。 略去高阶小量，有：,2、状态方程,理想流体中三个基本方程,定义, 为介质的等熵波速。 它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）,是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒),！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：,状态方程,2、状态方程,记住！,理想流体中三个基本方程,理想流体中三个基本方程,3、运动方程,依据牛顿第二定律, 建立
11、 关系。,介质中取质量微团ABCDEFGH六面体,边长分别为： 分析其受力：,dx，dy，dz,周围流体对该六面体的压力： 首先分析x方向受力：,（1）运动方程推导,作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为,理想流体中三个基本方程,3、运动方程,沿 方向的合力为,同理得 方向的合力为,理想流体中三个基本方程,3、运动方程,利用哈密顿算子， 表示质量 微团受到的合力：,根据牛顿定律，得运动方程,静压强 常数,理想流体中三个基本方程,3、运动方程,所以：,（2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程,是质点 的加速度。,3、运动方程,理想流体中三个基本方程,如果为小振幅波，则声学量和声学量的各
12、阶时间或空间导数为一阶小量。,忽略高阶小量,根据，多元函数微分公式，有：,运动方程,3、运动方程,理想流体中三个基本方程,记住！,又称尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。,！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：,忽略高阶小量：,3.2 理想流体中小振幅波波动方程 和速度势函数,3.2.1 流体中小振幅波波动方程 3.2.2 速度势函数,3.2.1 流体中小振幅波波动方程,运动方程,状态方程,连续性方程,（1）,（2）,（3）,均匀、静止理想流体中,小振幅波基本声学量的方程：,声学量 之间的三个关系式,对上三式消元，可以得到一个基本声学量的方程
13、。,对于物理可实现函数，有： 则：,(4)代入(5), 得:,(4) (5) (6),(7),3.2.1 流体中小振幅波波动方程,小振幅声波的波动方程,理想、均匀、静止流体中的小振幅波的声压波动方程。,小振幅声波的波动方程,直角坐标系中：,拉普拉斯算子，对不同坐标系具有不同形式。,3.2.1 流体中小振幅波波动方程,定义：速度势函数，如果运动是无旋的，则质点振速 可用标量函数 的负梯度表示,称为速度势函数,3.2.2 速度势函数,小振幅声波的波动方程,在不同坐标系中，其分速度有不同的表示式 直角坐标系 球坐标系 柱坐标系,小振幅声波的波动方程,3.2.2 速度势函数,式子 和式子,小振幅声波的波动方程,速度势波动方程,分别对时间微分，比较后得到,状态方程可写为 连续性方程写为 两式联立，可得,小振幅声波的波动方程,速度势波动方程,将 和,代入式,速度势的波动方式,小振幅声波的波动方程,速度势波动方程,得,只要求出满足初始和边界条件的速度势波动方程的解。就可通过微分形式求出声场中的声压和质点振速。,同理，据状态方程： ，代入声压的波动方程，可得 的波动方程： 据介质压缩量 ，则 s 的波动方程：,小振幅声波的波动方程,密度逾量波动方程,掌握三个基本方程和波动方程的推导。,
