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1、1 动 量 矩 定 理 研究质点系转动与外力矩之间的关系研究质点系转动与外力矩之间的关系 第12章 2 质点的动量矩质点的动量矩 12.1 质点系动量矩定理 质点对固定点质点对固定点 O 的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的 力对 的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的 力对 O 点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 )()( d d FMvmM t OO 质点的动量矩求导质点的动量矩求导 vmrvmM o mv r O 质点对定点质点对定点O的动量矩定理：的动量矩定理： 1. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 )()( d d d d )
2、( d d FMFrvrv r vr O m t m t m t 3 x x z z y y O O m1 mn mi m3 m2 mi v v i i r r i i 0 i ）（ iO FM )()( d d ei iOiO iO FMFM t L 对每个质点有： 对质点系：等式相加 对每个质点有： 对质点系：等式相加 )()( d d ei 0 iOiO FMFM t L 而内力矩而内力矩 e O O M t L d d 质点系对定点质点系对定点O的动量矩对时间 的一阶导数，等于作用在系统上所 有外力对该点的主矩。 的动量矩对时间 的一阶导数，等于作用在系统上所 有外力对该点的主矩。 质
3、点系对定点的动量矩定理质点系对定点的动量矩定理 4 e e e d d d d d d iz z iy y ix x FM t L FM t L FM t L 在直角坐标轴上投影在直角坐标轴上投影 质点系对于定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作 用在系统上所有外力对同一轴取矩的代数和。 质点系对于定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作 用在系统上所有外力对同一轴取矩的代数和。 质点系动量矩定理的投影形式 对定轴的动量矩对定轴的动量矩 5 常矢量常矢量 0 L 0 FM z 0 FM O 若 则 则 若 投影形式 若 则 则 若 投影形式 z L常数常数 动量矩守恒定律 6 平移刚体的动量矩 CCCO
4、O vmrvmML )( Cii CCCiiiiiO rmrm vmrvrmvmrL )( )vm(ML Czz 平移刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质 心的动量对该点（轴）的动量矩。 平移刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质 心的动量对该点（轴）的动量矩。 对定轴的 对定点的 对定轴的 对定点的 2 运动刚体对定点定点O的动量矩计算 7 22 iiii iiiiizz mm vmvmML 2 iiz mJ 称为刚体对称为刚体对 z 轴的， 转动 惯量是刚体转动惯性的度量。 轴的， 转动 惯量是刚体转动惯性的度量。 zz JL 刚体对定轴刚体对定轴 z的 动量矩可写成：的 动量矩可写成： 2
5、 zz mJ 称为惯性半径称为惯性半径 z 转动惯量转动惯量 定轴 转动刚体对转轴的动量矩 8 CCOO JmvML 平面运动刚体对质心的动量矩平面运动刚体对质心的动量矩 mmLL iiiii r CC 2 C r CC JLL CCOO JmvML)( 刚体对任意刚体对任意定点定点O的 动量矩的 动量矩 平面运动刚体的动量矩 刚体对质心的绝对动量矩和相对动量矩相等。刚体对质心的绝对动量矩和相对动量矩相等。 平面运动刚体对任意定点平面运动刚体对任意定点O的动量矩的动量矩 9 r CCCO LvmrL 质点系对任意质点系对任意定点定点O的 动量矩等于集中于质心的 动量 的 动量矩等于集中于质心的
6、 动量mvC对对O点的动量矩再加上各质点相对质心点的动量矩再加上各质点相对质心C 动量矩动量矩LC的矢量和。的矢量和。 *质点系对任意质点系对任意定点定点O的 动量矩的 动量矩 10 练习练习：求图示匀质物体对固定点O的动量矩。 l O C O C 11 练习：求系统动量矩 O R r A B 图示系统中，已知鼓轮以的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别为 R、r，对O轴的转动惯量为JO ；物块A、B的质量分别为mA 和mB ；试求系 统对O轴的动量矩。 12 例题（动量矩定理） mg v M 鼓轮半径r，对水平轴O的转动惯量J，鼓轮上作用一常力偶矩M，重 物质量m，从静止开始被提升。绳索质量和
7、摩擦均不及。求当鼓轮转 动时重物上升的加速度。 13 例12-1（动量矩守恒） 在光滑水平面上放置半径为在光滑水平面上放置半径为R的圆环，在环上有一个质量与环相同的小虫 ，以相对环的等速率 的圆环，在环上有一个质量与环相同的小虫 ，以相对环的等速率v爬行。设开始时环与虫都静止。求环的角速度。爬行。设开始时环与虫都静止。求环的角速度。 0)2/(2/)2/( )2/( 222 RmmRvRmmR ACRvmJL CC 取环和小虫组成的系统研究。 其受到的合外力为零，系统的质心C守恒，系统 对质心C的动量矩守恒 解：解： 设系统质心位置为C，则 OC=CA=0.5R 系统对质心C的动量矩守恒 环与
8、小虫的质量均为m，假定环运动的角速 度为（逆时针）。 R v 3 解得： 小虫的绝对速度： 2 R vACvv 虫 负号表示圆环转向与所设相反，为顺时针 14 例 动量矩守恒例 动量矩守恒 物块重W，人重W，保持平衡。人从静止开始，以相对绳 速度vr向上运动，问平衡块将怎样运动？（轮重不计） r vv 2 1 0)(Rvv g W vR g W r 取整个系统为研究对象，进行受力分 析，运动分析 系统对O点的动量矩守恒 设物块上升的速度v 解：解： 物块上升的速度为： 15 得到鼓轮的角加速度为 g rmrmJ rmrm O 2 22 2 11 2211 （5）应用动量定理 y x Fym F
9、xm WgmgmFrmrm F y x 212211 0 g rmrmJ rmrm WgmmF F O y x 2 22 2 11 2 2211 21 )( 0 ）（ 得到轴承约束力为 16 例12-2（动量矩定理） 两个质量为 m1 、m2 的重物分别系在绳子的两端，如图所示。两绳分 别绕在半径为r1 、r2 并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转 动惯量为JO，重为W，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。 （2）受力分析： 系统所受外力的受力图如图所示，其中m1 g、m2 g、 W为主动力，Fx，Fy为约束力。 （3）运动分析： 解：解： （ 1）以整个系统为研究对象。 )( 2 22 2
10、 11 rmrmJL OO （4）应用动量矩定理 )( d d O F O M t L 2211 2 22 2 11 )(grmgrmrmrmJ O 设鼓轮的角速度为，系统的动量矩为 17 zz JL 定轴转动刚体的动量矩：定轴转动刚体的动量矩： , iz z FM t L d d 12.2 刚体绕定轴转动微分方程 刚体对刚体对z 轴的动量矩定理轴的动量矩定理 izz FMJ t d d izZ FM t J d d izZ FMJ izZ FM t J 2 2 d d 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程 由由 18 如图所示传动系统中J1 、J2 为轮、轮的转动惯量，M1 为力矩。
11、 轮的角加速度为 对吗? 思考题 21 1 1 JJ M 19 思考题 图示两个完全相同均质轮，图（a）中绳的一端挂一重物，重量等于P， 图（b）中绳的一端受拉力F，且F=P，问两轮的角加速度是否相同？绳 中的拉力是否相同？为什么？ （a）（b） 20 解解：取杆为研究对象，取杆为研究对象， 23 1 2 l Pl g P l g 2 3 由质心运动定理：由质心运动定理： OxCx Fa g P 0 PFPF l g P a g P OyOyCy 4 1 2 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，OA杆角 加速度及O处反力。 由动量矩定理：由动量矩定理： 例题 12-4 （刚体定轴转
12、动） 21 sinmgsJO 0sin O J mgs 微幅摆动微幅摆动sin 0 O J mgs 周期周期 mgs J T O 2 解：解： O J mgs 2 例例12-3 复摆法测转动惯量 根据对固定点的动量矩定理有根据对固定点的动量矩定理有 Jo 对O轴的转 动惯量 由平行轴定理由平行轴定理 2 msJJ CO 水平轴为摆的悬挂轴。设摆的质量为m，质心为C，s为质心到悬挂轴的距 离。若已测得复摆绕其平衡位置摆动的周期T，求刚体对通过质心并平行于 悬挂轴的轴的转动惯量。 ) 4 ( 2 2 2 g sT mgsmsJJ OC 2 2 4 mgsT JO 对质心的转动惯量 近似微分方程 解
13、得 对质心的转动惯量 近似微分方程 解得 22 *12.3 刚体平面运动微分方程 m1 m n m2 mi x0 z0 y0O0 x z y 1. 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 C )( d d e C C t M L 在相对随质心平动坐标系的运动中，质点系对质心的动量 矩对于时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。 r CCCO LvmrL 代入动量矩定理 由质点系对任意定点 代入动量矩定理 由质点系对任意定点O的 动量矩的 动量矩 OCCC O MLvmr tt L )( d d d d r ii e i C C e i CCC iiC CC CC C FFr t L
14、 Frvmv Fr t L t vm rvm t r d )d( )( d )d( d )d( d d r r ri rC i 23 )( e iCC ycy xcx FMJ Fma Fma czcz yC xC MJ Fym Fxm 或或 2. 刚体平面运动微分方程2. 刚体平面运动微分方程 24 思考题 质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。 设开始时圆盘静止，图中r=R/2。试说明各圆盘将如何运动。 25 例例12-5 均质圆盘质量为m，半径为R，对质心的回转半径为C 。试研 究圆盘沿倾斜角为的斜面的平面运动。不计滚动摩阻。 解： 解： (情况情况1) 斜面为光滑斜面。 由刚体平面运动微分方程得出 sinmgxm C cos0mgFN 0 2 C m 圆盘的受力如图 0 sin gxC 由此可得到各运动分量满足方程 0 , 0 , 0 , , 0 0 CC xvxt
