曲面积分

《曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲面积分（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第十章 曲 面 积 分,对面积的曲面积分（第一型曲面积分）,一、对面积的曲面积分的定义,1定义:,2物理意义:,二、对面积的曲面积分的性质,1. 线性性质：,2. 可加性：,3. 的面积：,三、对面积的曲面积分的计算方法,方法：化为二重积分计算,4. 奇偶对称性：,关键：找到投影区域D,确定二重积分的积分变量,一般有三种方法，究竟利用哪种方法取决于 的方程,中哪个变量能用其它另外两个变量的显示形式,表示，若 的方程既可化为 ，又可化为,0,（1）若 ， 。,（2）若 ， 。,（3）若 ， 。,四、对面积的曲面积分的应用,1几何应用 求曲面的面积：,2物理应用,质量,质心,转动惯量,一、对坐标的

2、曲面积分的概念,1定义,2物理意义,单位时间内流过曲面 一侧的流量。,表示流体密度 速度场为 ,对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）,二、对坐标的曲面积分的性质,1可加性,2反号性,3奇偶对称性,关于xoy面对称，R为z的偶函数,关于xoy面对称，R为z的奇函数,（2）设 ， 。则,前侧取“+”，后侧取“”。,1直接投影法（化为二重积分）,（1）设 ， 。则,上侧取“+”，下侧取“”。,三、对坐标的曲面积分的计算方法,或,这里 是 的外侧边界， 为曲线 上点,处的法向量的方向余弦。,2高斯（Gauss）公式计算法,（3）设 ， 。则,右侧取“+”，左侧取“”。,4斯托克斯（Stokes）公式计算

3、法,（这里 是有向曲面 的正向边界曲面),3转化为第一型曲面积分计算法,五、对坐标的曲面积分的解题方法,四、散度与旋度,设 ， 均有一阶连续偏导数。,（1）散度,（2）旋度,确定,对 补上特殊 曲面,确定 的侧,封闭,应用Guass公式,转化为二重积分,在封闭曲面 上应用Gauss公式,求 在各坐标面上的投影,转化为二重积分,Yes,No,求 的方向 余弦,转化为第一 型曲面积分,Yes,为平面块,解题方法流程图,由上图可以看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数,特点，考虑将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分来,后将上面二积分相减，便得原曲面积分的值，即,是否封闭，若 是封闭曲面，则可

4、直接利用Gauss公式，将,所求积分转化为三重积分来计算。若 不是封闭曲面，则可,进一步判别 是否为平面块， 是平面块，则可根据题目的,计算。若 不是平面块，此时，一般有两种方法，一种是通,过补特殊曲面 ，使 构成一封闭曲面，然后在封闭曲,面 上应用Gauss公式，并计算在曲面 上的积分，最,， ， 及积分曲面 ；然后判别,另一种方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来,计算，即直接计算方法。,六、对面积的曲面积分典型例题,分析 因为 ： ，可恒等变形为 ： ，,故我们可采用框图中线路2解题方法求解。又因被积函数,与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积,函数，即将 代入，从而简化计算。,

5、解：平面 方程的为 （见下图），,在 面上的投影区域为：,面积元素,从而,注： 本题亦可框图中线路1或线路3的解题方法来求解。,分析 因为 ： ，即 ，,所以我们可采用框图中线路1或线路3的解题方法求解。,从 中能确定 ，或 ；,下面仅用线路1的方法计算。,（1）求 和 在 平面上的投影区域：,因 和 在 平面上的投影区域相同，,（3）转化为二重积分：,（2）求微元 ：在 和 上，,分析 注意到积分曲面 为旋转抛物面 ，,它关于 面和 面对称，且被积函数,关于变量 和 均为偶函数，因此只要计算 在第一,卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。,解：设 在第一卦限的部分为 ，则 在

6、面上的投影,区域为：,于是,（令 ）,分析 由于积分曲面 为球面 ，它关于三个,坐标面具有轮换对称性，所以 ，而,，故本题利用轮换对称性和奇偶对,称性计算比较简单。,解：因 ，,由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为0，而由,轮换对称性易知 ，故,注：从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意,掌握以下几个要点：,（1）由于积分范围 是曲面，所以点 的坐标满足曲面,的方程 ，计算中要善于利用曲面 的方程,来化简被积函数；,（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面 的对,称性（包括轮换对称性）和被积函数 的奇偶性，,可以利用此类特殊性来简化积分的计算；,（3）将对面积的曲面积

7、分转化为二重积分计算，关键在于,二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面 的方程,的特点所决定的，从以上的例子即可看出。,分析 本题为曲面积分在物理中的应用问题，只需按公式,将其转化为对面积的曲面积分进行计算即可。,解：由题意,因 ： ；在 坐标面上的投影区域为,且 。所以,（令 ）,六、对坐标曲面积分典型例题,分析 由于 不是封闭曲面，且只是对坐标 的曲面积分，,故从解题方法的框图上看，采用线路2 23的方法计算。,于是得,分析 本题为计算对坐标的组合积分，但由于 不是封闭曲面，,且其中的三个曲面积分化为二重积分计算又比较容易（因为,为柱面，在 坐标面上的投影 ，故从解题方法,的框图上看，采用

8、线路2 23的方法计算即可。,解：因在 坐标面上的投影 ，,坐标面上的投影区域为：,又 在 ，,所以 ；,分析 由于 为封闭曲面，所以可采用框图中线路1的方法计算。,解：本题中， ， ， 。积分曲面,为封闭曲面，设 所围成的空间闭区域为 ，则,： ， ；,或 ： ， ， 。,于是由Gauss公式，得,注：若将本题中的积分曲面 改为上半球面 的,上侧，则由于 不是封闭曲面，又不是平面块，从计算方法,的框图上看，采用线路2 22的方法计算较为简便，现计算,如下：,补平面块 取下侧，,则 与 构成一封闭曲面，且取外侧。,又,故,分析 由于 ， ，,定义在曲面 上，所以被积函数满足曲面方程,故应首先考

9、虑用曲面方程化简被积函数, 即,然后再计算。其次本题可考虑用高斯公式来计算，即采用,框图中线路222的方法计算。,解：先以 代入被积表达式中，得,补有向曲面 取上侧，则构成封闭,曲面，且方向为外侧。由 所围成的空间闭区域为,应用高斯公式，得,又因,因此,分析 由于 ， ，,其中 未知，而积分曲面 为平面块，故可考虑,利用两类曲面积分之间的关系，把给定的第二型曲面积分,转化为第一型曲面积分，即采用,框图中线路2 21的方法计算。,解: 在面上的投影区域(如图),，故,注: 此题若用定义直接计算，由于被积函数中含有未知函数,，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积,的方向余弦为,分就很难进行了

10、。一般情况下，若被积函数中含有抽象函数，,通常不采用直接计算的方法，而是采用将第二型曲面积分转,化为第一型曲面积分或Gauss公式的方法来处理。,分析 令 ， ， ，,由于被积函数含有抽象函数 ，如果直接计算很难求出。,考虑到 为封闭曲面，而且,因此可考虑应用高斯公式，即采用框图中线路1的方法计算。,解： 令 ， ， ，则,， ， ，,围成的区域为 （如图）,应用高斯公式，得,于是，计算得,在柱面坐标系下， ： ， ，,分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看, 若采用,参数法转化为定积分计算比较困难。现利用Stokes公式将,曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化,为二重积分时，曲面 的侧与曲线 的方向符合右手规则，,从而正确决定二重积分的正负号。,解: 设 为平面 上 所围成部分的上侧， 为,在 坐标面上的投影区域，则 ；,由Stokes公式，得,【例8】设 ，求 。,分析 按梯度、散度定义直接计算即可。,解: 由于,所以,从而,