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1、第第 12 章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 【12.1】半径为 1 R的金属球 A 位于同心的金属球壳内，球壳的内、外半径分别为 32 RR 、 （ 32 RR ） 。 现在使金属球 A 带电量为Q，则此球壳的电势为多少？ 【12.1 解】解】根据高斯定理，可求得 B 球壳外的电场强度: 2 0 4 r Qe E r 3 ()Rr B 球壳为等势体，其电势为 33 2 003 d 44 RR QrQ Vd rR Er 【12.2】一导体球半径为 R1,外罩一半径为 R2的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0.求此系统的电势和电场分布。 【12.2 解
2、】解】已知内球电势为 0 V，外球壳带电Q。 （1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷q。由高斯定理，有 1 2 0 4 r q r e E ， 12 ()RrR； 2 2 0 () 4 r qQ r e E ， 2 ()Rr 球的电势为： 2 112 012 012020102 11() 4444 R RRR qqQqQ VE drE drEdr RRRRR 解得： 001 2 (4) Q qVR R 所以，球外壳内电场 101 1 22 02 4 r RVRQ rR r Ee 12 ()RrR 壳外电场 1021 2 22 02 () 4 r RVRR Q rR r Ee 2 ()Rr （
3、2）求各区域的电势： 球外壳内电势 2 2 12 ddd R rrR V ErErEr= 1 10 02 ()1 4 rR Q RV Rr 12 ()RrR 壳外电势 21 210 02 ()1 d 4 r RR Q VRV Rr E r 2 ()Rr 【12.3】有两个同心球面，半径分别为cm0 .10 1 R，cm0 .12 2 R，两球面都均匀带电。已知两球面之 间的电势差 12 90V RR UVV，外球面的电势是V750 2 R V。求各球面的带电量。 【12.3 解】解】设内球面带电 1 Q，外球面带电 2 Q。先用高斯定理求得空间各处场强 1 0E， 1 ()rR； 1 2 2
4、0 4 r Q r e E， 12 ()RrR； 12 3 2 0 () 4 r QQ r e E， 2 ()Rr； 外球面的电势 2 2 12 3 02 d 4 R R QQ V R Er 内外球面电势差 2 21 1 1 2 012 11 d() 4 R RR R Q UVV RR Er 可得： 9 1 6 10 CQ ， 9 2 4 10 CQ 【12.4】如图所示，三块平行导体平板 A，B，C 的面积均为 S，其中 A 板带电 Q，B，C 板不带电，A 和 B 间相距为 d1,A 和 C 之间相距为 d2,求（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差； （2）将 B，C 导体 板分别
5、接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。 【12.4 解】解】 设 A 板左右两面分别带电荷 AL q和 AR q； B 板左右两面分别带电荷 BL q和 BR q；C 板左右两面分别带电荷 CL q和 CR q。 （1）依照静电平衡时导体上电荷分布的规律，有 0 BLBR qq； 0 CLCR qq； ALAR qqQ； BLCR qq； BRAL qq ； ARCL qq 解上面的方程组得： 2 BLALARCR Q qqqq ； 2 BRCL Q qq 故有 1 0 2 BA Qd V S ； 2 0 2 AC Qd V S （2）B、C 两导体接地，0 BC U，则有 0 BL
6、CR qq； ALAR qqQ； BRAL qq ； CLAR qq ； 21 00 0 CLBR q dq d SS ； 解上面的方程组得： 2 12 BRAL d Q qq dd ； 1 12 CLAR d Q qq dd 故有 12 012 BA d dQ U S dd ； 12 012 AC d dQ U S dd 【12.5】 如图所示，在真空中将半径为 R 的金属球接地，在与球 O 相距为 r(rR)处放置一点电荷 q，不计 接地导线上电荷的影响，求金属球表面上的感应电荷总量。 【12.5 解】解】金属球表面以及球内各点电势相同，等于 0，这是点电荷q和金属 球表面各处的感应电荷d
7、q共同激发的。 选取一个特殊点球心， 该点的电 势为 B 习题 124 图 1 d 2 d A C 习题 125 图 R O r q 0000 d 1 d 0 4444 SS qqq Vq rRrR 由此求得感应电荷总量 d S R qqq r 【12.6】 地球和电离层可当作一个球形电容器， 它们之间相距约为 100 km， 试估算地球电离层系统的电容， 设地球与电离层之间为真空。 【12.8 解】解】地球半径为 6 1 6.37 10 mR ；电离层半径 56 21 1.00 10 m+6.47 10 mRR 根据球形电容器的电容公式，得： 2 12 0 21 44.58 10 F R R
8、 C RR 【12.7】半径分别为 a 和 b 的两个金属球，球心间距为 r（ra，rb） ，今用一根电容可忽略的细导线将 两球相连，试求： （1）该系统的电容； （2）当两球所带的总电荷是 Q 时，每一球上的电荷是多少？ 【12.7 解】解】由于ra，rb，可也认为两金属球互相无影响。 设 a 球带电 1 q，b 球带电 2 q，两球电势均为V。 （1）对于 a 球而言 1 0 4 q V a ；对于b球而言 1 0 4 q V b 对于 a、b 两球这个系统而言 12 0 4() qq Cab V （2） 设 12 Qqq，则 100 44 QaQ qaVa Cab ； 200 44 Qb
9、Q qbVb Cab 【12.8】两线输电线的线径为 3.26mm，两线中心相距离 0.50m，输电线位于地面上空很高处，因而大地影 响可以忽略，求输电线单位长度的电容。 【12.8 解】解】设输电线半径为R，两线轴心相距d，单位长度分别带电、两线电势差为U。取坐标如图。 输电线单位长度电容为 C U （1）一根带电的输电线在两线之间、距其轴心x处p点的场强为 0 2x Ei 另一根带电的输电线在p点产生的电场强度为 0 2()dx Ei p点的总电场强度为 0 11 () 2xdx EEEi （2）两输电线的电势差为 0 ddln d Rd R x RR dR UE x R El O E p
10、 x U dx 2R x z （3）输电线单位长度的电容 12 00 /ln/ln4.86 10F dRd C URR 【12.9】半径为 1 R的导体球被围在内半径为 2 R、外半径为 3 R、相对电容率为 r 的介质球壳内，它们是同 球心的。若导体带电为Q，则导体内球表面上的电势为多少？ 【12.9 解】 【12.9 解】先求各区域电场 （1） 1 0E 1 ()rR （2） 1 2 2 0 4 r Q r e E 12 ()RrR （3）在介质球壳区域，应用介质内的高斯定理 2 4r DQ， 03r DE 3 2 0 4 r r Q r Ee ， 12 ()RrR （4） 4 2 0 4
11、 r Q r Ee ， 3 ()Rr （5） 求金属球的电势 32 1123 234 dddd RR RRRR V ErErErEr = 01202303 1111 ()() 444 r QQQ RRRRR 【12.10】盖革米勒管可用来测量电离辐射，该管的基本结构是由半径为R1的长直导体和同轴的半径为 R2的圆筒组成。半径为R1的长直导体作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极，它们之间充 以相对电容率 r 1的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离，若两极间有电势差时，极间有电流， 从而可测出电离粒子的数量。若以 E1表示半径为R1的长直导体附近的电场强度。 （1）求两极间电势差的
12、 关系式； （2）若 16 1 mV100 . 2 E, mm30. 0 1 R, mm00.20 2 R, 两极间的电势差为多少？ 【12.10 解】解】 （1）利用高斯定理可得 0 2 L ErL 两极间的电场强度 0 2 E r 导线表面（ 1 rR）电场强度 1 01 2 E R 两极间的电势差 22 11 2 11 01 ddln 2 RR RR R UrR E rR Er （2）当 61 1 2.0 10 V mE ， 1 0.3mmR， 2 20.0mmR时， 3 2.52 10 VU 【12.11】一片相对电容率173 r 的二氧化钛晶片，其面积为1.0cm2，厚度为0.10m
13、m,把平行平板电容器 的两极板紧贴在晶片两侧。求： （1）电容器的电容； （2）电容器两极加上12V电压时，极板上的电荷为多 少，此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度。 【12.11 解】解】 （1）充满此介质的平板电容器的电容 9 0 1.53 10 F r S C d （2）电容器加上12UV的电压时，极板上的电荷 8 1.84 10 CQCU 极板上的自由电荷面密度为 42 0 1.84 10 C m Q S 晶片表面极化电荷密度 42 00 1 (1)1.83 10 C m r （3）晶片内的电场强度 51 1.2 10 V m U E d 【12.12】
14、有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密为 25 0 mC105 . 4 ，现将两极板与电源断开， 然后再把相对电容率为0 . 2 r 的电介质插入两极板之间，此时电介质中的D、E和P各为多少？ 【12.12 解】解】充电后断开电源插入介质前后，极板上的电荷不变。利用介质中的高斯定理可得 介质中电位移矢量的数值 52 0 4.5 10 C m Q D S 介质中电场强度的数值为 61 0 2.5 10 V m r D E 介质中极化强度的数值为 52 0 2.3 10 C mPDE D、E、P方向相同，均由正极板指向负极板。 【12.13】在一半径为R1的长直导线外套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为 r
