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1、北京101中学上学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知向量a=（8，12x，x），b=（x，1，2），其中x0.若ab，则x的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据两向量平行的等价条件及题意，得到存在实数0，使得a=b，即(8,12x,x)=(x,2)，然后根据向量相等得到关于,x的方程组，解方程组可得所求【详解】b且x0，向量a,b共线同向，存在实数0，使得a=b，即(8,12x,x)=(x,1,2)=(x,2)，x=812x=x=2，解得=2x=4故选A【点睛】本题考查两向量共线的等
2、价条件及其应用，考查计算能力，属于基础题2.双曲线x23y24=1的焦点坐标为（ ）A. （l，0） B. （7，0） C. （5，0） D. （4，0）【答案】B【解析】【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得焦点坐标【详解】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3,b2=4，c=a2+b2=7，双曲线的焦点坐标为(7,0)故选B【点睛】判断双曲线的焦点位置时，要看曲线方程中变量的正负，焦点在正的项对应的变量所在的轴上，然后再根据c2=a2+b2求出半焦距后可得焦点的坐标3.直线x+2y5+5=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长
3、为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 46【答案】C【解析】因为x2+y22x4y=0化为(x1)2+(y2)2=5，可知圆的圆心为(1,2),半径为5，圆心到直线x+2y5+5=0的距离为d=|1+225+5|5=1，由勾股定理可得直线x+2y5+5=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为251=4，故选D.【此处有视频，请去附件查看】4.已知圆O1：(x+1)2+(y-1)2=1与圆O2：(x-3)2+(y+2)2=r2(r0)相内切，那么等于（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 13【答案】C【解析】【分析】根据两圆相内切得到圆心距和两半径间的关系，由此可得所求的值【详解】由
4、题意得|O1O2|=(3+1)2+(21)2=5圆O1和圆O2相内切，|O1O2|=|r1|，即|r1|=5，解得r=6或r=4（舍去）故选C【点睛】本题考查两圆位置关系的运用，当两圆相内切时，两圆的圆心距等于两半径之差的绝对值，同时也考查数形结合的应用5.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点，则k=1是“OAB的面积为12”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由k=1时,圆心到直线l:y=x+1的距离d=22.所以弦长为2.所以SOAB=12222=12.所以充分性成立,由图形
5、的对成性当k=1时,OAB的面积为12.所以不要性不成立.故选A.考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.【此处有视频，请去附件查看】6.抛物线y=4x2的焦点坐标为（ ）A. (0,1) B. (0,116) C. (0,14) D. (14,0)【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标【详解】由题意得抛物线的标准方程为x2=14y，焦点在y轴的负半轴上，且2p=14，p2=116，抛物线y=-4x2的焦点坐标为(0,116)故选B【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题7.已知双曲线x2a
6、2y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=3x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. x2108y236=1 B. x236y2108=1C. x227y29=1 D. x29y227=1【答案】D【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为y=3x可得ba=3，即b=3a，由此可得c=2a，故双曲线的焦点为(2a,0)再由题意得到抛物线的准线方程为x=6，故得a=3,b=33，于是可得曲线方程【详解】由x2a2y2b2=0，得y=bax，即为双曲线的渐近线方程，又双曲线的一条渐近线方程是y=3x，ba=3，b=3a，c=a2+b2=2a，双曲线的焦点坐标为(
7、2a,0)又抛物线y2=24x的准线方程为x=6，双曲线的焦点在抛物线的准线上，2a=6，a=3,b=33，双曲线的方程为x29y227=1故选D【点睛】（1）已知双曲线的标准方程求其渐近线方程时，可把等号后的“1”改为“0”，变形为一次的形式后即为渐近线的方程（2）解答本题的关键是理清条件中各个量间的关系，求出双曲线方程中的参数a,b的值8.正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为（ ）A. 2 B. 22 C. 3 D. 33【答案】A【解析】【分析】画出图形，作出所求的角，然后通过解三角形得到正切值【详解】如图，连AC，交BD于O，则O为BD的中点，连
8、OA1,OAABCDA1B1C1D1是正方体，AD=AB,A1B=A1D，AOBD,A1OBD，A1OA即为平面A1BD与平面ABCD所成二面角的平面角在RtA1AO中，A1AO=90，设正方体的棱长为，则AO=22a，tanA1AO=A1AAO=a22a=2，平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为2故选A【点睛】解答类似问题的关键是作出两平面所成角的平面角，将空间问题转化为平面问题求解，再通过解三角形的方法得到所求角（或其三角函数值），考查作图能力和计算能力，属于中档题9.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离
9、相等，则线段PA长度的最小值为（ ）A. 22 B. 32 C. 52 D. 2【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果【详解】如图，以A1D1的中点O1为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系O1xyz，则A(12,0,1)由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上由题意得，在xOy平面内，抛物线的方程为y2=2x，设点P的坐标为P(x,y,0)，则y2=2x，所以|PA|=(x12)2+
10、y2+1=(x12)2+2x+1=(x+12)2+1，又x0，所以当x=0时，|PA|有最小值，且|PA|min=14+1=52故选C【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理10.若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：有且只有两条直线l使得曲线C1：x2+y2=4和曲线C2：x2+y24x+2y+4=0为“相关曲线”；曲线C1：y=12x2+1和曲线C2：y=12x21是“相关曲线”；
11、当ba0时，曲线C1：y2=4ax和曲线C2：(xb)2+y2=a2一定不是“相关曲线”；必存在正数a使得曲线C1：y=ax2+2x+2和曲线C2：x22+y2=1为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关曲线”，否则则不是【详解】对于，由题意得曲线C1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2,1)为圆心，半径为1的圆两圆的圆心距为|C1C1|=5，由于1|C1C1|a0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形由图可得圆在抛物
12、线的内部，所以两曲线不会有公切线，故正确对于，当a=1时，曲线C1：y=x2+2x+2=(x+1)2+1，此时直线y=1与曲线C1和曲线C2都相切，故正确综上可得有三个命题正确故选C【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线考查理解和运用知识解决问题的能力二、填空题，共6小题.11.已知M：x24x+y2=0，则M的半径r=_.【答案】2【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程后可得圆的半径【详解】由题意得圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，所以该圆的圆心为(2,0)，半径为2故答案为2【点睛
13、】本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化，考查变形能力和辨识能力，属于简单题12.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，线段BD上有点H，满足DH=1，则异面直线DH与CC所成角的大小为_.【答案】45【解析】【分析】根据两异面直线所成角的定义得到DDH即为所求的角（或其补角），结合条件在RtDDH求解可得所求【详解】如图，因为DDCC，所以DDH即为异面直线DH与CC所成的角（或其补角）在RtDDH中，DDH=90,DD=DH=1，所以DDH=45，所以异面直线DH与CC所成的角为45故答案为45【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题的关键是根据定义作出两直线所成的角，同时还应注意两异面直线所成角的范围，这一点在解题中容易被忽视13.已知椭圆x24+y22=1焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，则F1PF2的周长为_.【答案】4+22【解析】【分析】结合图形根据椭圆的定义求解即可得到三角形的周长【详解】由题意得a=2,b=c=2P为椭圆上一点，|PF1|+|PF2|=2a=4，F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+22故答案为4+22【点睛】椭圆上的点和两焦点构成的三角形称为焦点三角形，解决有关焦点三角形的问题时往往要用到椭圆的定义，然后再结合正弦、余弦定理等知识求解，解题时注意整体代换（即椭圆定义）的应用14.若向
