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1、专题四 勾股定理及逆定理的综合【知识概要】 1勾股定理与逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法综合应用勾殴定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题2.直角三角形的性质(1)角的关系：两锐角互余(2)边的关系：勾股定理(3)边角关系：角所对的直角边等于斜边的一半这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用3勾股定理及逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分
2、的一个整体，通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决 掌握一些常见的基本图形： 4折叠的常见基本图形 本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用【典例探析】一.勾股定理中方程思想的运用 例1 如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。 变式1 如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，若AB=3，BC=4,求EC的长。二、勾股定理中类比思想的运用例2 如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则
3、不难证明S1=S2+S3 （1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明三、勾股定理中整体思想的运用例3 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4=_四、勾股逆定理的运用例4 如果ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么
4、ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形变式2 ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试判断ABC是什么三角形。五、利用勾股定理求最短路径问题例5 有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，求它爬行的最短路程为多少？变式3 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出
5、总费用是多少？ABCDL【课后巩固】一、选择题1直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ ） A6 B.8 C. D.2.已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm,c=10cm,则RtABC的面积为（ ） A.24cm B. 36cm C.48cm D.60cm 3.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ A.56 B.48 C.40 D.324.图17 -31所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是( ) 5
6、.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B60 C45 D306.在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c.下列说法错误的是（ ）A.C -B =A ，那么C=90 B.如果C=90，则c- b= aC.如果（a+b）（a-b）= c,那么C=90 D.如果A=30，B=60那么AB=2BC第8题4312二、填空题7.已知一三角形三边分别为5k,12k,13k,则这个三角形为，理由 是.8.如图是一长方体长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为_9.以a,b,c为三边的三角形，其三边满足a+b=25,a-b=7,且c=5，则这个三
7、角形的最长边是，这条边上的高为.10.在ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则ABC的周长为 _.11. 如图17-3-3所示，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米12.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中米，米，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元. 三、解答题13.如图17-3-5所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知求EFC的面积14.如图
8、，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处；（1）求证：BE=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明15.如图17 -3 -12所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角新开发区B到公路MN的距离BC=3千米(1)求新开发区A到公路MN的距离；(2)现要在MN上某点P处向新开发区A、B修两条公路PA、PB，使点P到新开发区A、B的距离和最短请你用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出时PA+PB的值.16(1)如图17 -3
9、 -13所示，已知，在等腰点P在线段BC上，且若点D在线段AB上运动，求PD的最小值；若点P从初始位置先运动到AC边上，再运动到AB边上，求点P运动的最短路径(2)如图17 -3 -14所示，已知，在ABC中，点P在线段BC上，且PC=2，若点P从初始位置先运动到AC边上，再运动到AB边上，求点P运动的最短路径17.【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知RtABC中，如图17-3-20(a)所示，当点M、N在AB上时，则 小颖的解题思路：如图17-3-20(b)所示，将ACM沿直线CM对折，得连进而证明结论得证【解决问题】当M在BA的延长线上，点N在线段AB上，其他条件不
10、变，如图17-3-20 (c)所示，关系式是否仍然成立？根据上述材料请你帮助小颖判断结论，并给出证明18.在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为求这个三角形的面积小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图17-3-15(a)所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积(1)请你将ABC的面积直接填写在横线上 思维拓展(2)我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法，若ABC三边的长分别为（a0），请利用图17-3-15(b)的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积填写在横线上 探索创新(3)若ABC中有两边的长分别为且ABC的面积为试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 (4)利用上述解题方法完成下题：如图17-3-15(d)所示，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中正方形ABQP、CDRQ、EFPR的面积分别为13、20、29，且PQR、BCQ、DER、APF的面积相等， 求六边形绿化区ABCDEF的面积 - 7 -
