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1、1 小题必刷卷(四) 导数及其应用 考查范围:第 13 讲第 15 讲 题组一 刷真题 角度 1 导数的运算及几何意义 1. 2018全国卷 设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2. 2016山东卷 若函数 y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质. 下列函数中具有 T 性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 3. 2016四川卷 设直线 l1,l
2、2分别是函数 f(x)=图像上点 P1,P2处的切线,l1与 l2垂直相交于点 P,且 l1,l2分 ,0 1 ? 别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+) 4. 2018天津卷 已知函数 f(x)=exln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 . 5. 2018全国卷 曲线 y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 6. 2017天津卷 已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图像在点(1,f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 . 7. 2016全国卷 已
3、知 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 2 8. 2015全国卷 已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a= . 9. 2015全国卷 已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 角度 2 导数的应用 10. 2017全国卷 函数 y=1+x+的部分图像大致为( ) 2 A B C D 图 X4-1 11. 2017山东卷 若函数 exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单
4、调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.下 列函数中具有 M 性质的是( ) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 12. 2016四川卷 已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 13. 2018江苏卷 若函数 f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 . 14. 2017江苏卷 已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a2)0,则实数 a 的取值范
5、围是 . 1 3 题组二 刷模拟 15. 2018贵州遵义航天中学月考 曲线 y=xln x 在点 M(e,e)处的切线方程为( ) A.y=x-eB.y=x+e C.y=2x-e D.y=2x+e 16. 2018湖南五市十校联考 已知函数 f(x)=2x-aln x,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 x+y+1=0 垂直,则 a= ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 17. 2018大连一模 若曲线 y=ex在点 P(x0,)处的切线在 y 轴上的截距小于 0,则 x0的取值范围是( ) 0 A.(0,+) B.(1,+) C.(2,+) D.( 1 , + )
6、 18. 2018四川雅安 4 月联考 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)=16,且 f(x)的导函数 f(x)-3 C.x|x3 D.x|x3 19. 2018石家庄模拟 曲线 y=ex-1+x 的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为 ( ) A.y=2exB.y=ex C.y=3xD.y=2x 20. 2018安徽安庆二模 已知函数 f(x)=2ef(e)ln x- (e 是自然对数的底数), 则 f(x)的极大值为 ( ) A.2e-1B.- 1 C.1 D.2ln 2 21. 2018重庆巴蜀中学月考 已知函数 f(x)为偶函数,且当 x0 时,f(x)=x+ sin x
7、,则关于 x 的不等式 f(x)f(2x-1)的解集为 1 2 ( ) A.x|11D. x0 在 R 上恒成立,则以下不等式一定成立的是 ( ) A.f(1)B.f(1)e3f(1)D.f(-2)0 且 a1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,则 loga= . 3 2 小题必刷卷(四) 1.D 解析 因为 f(x) 为奇函数,所以 a-1=0,即 a=1,所以 f(x)=x3+x,所以 f(x)=3x2+1.因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,0) 处的切线方程为 y=x.故选 D. 2.A 解析 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1
8、.对于 A,y=(sin x)=cos x,存在 x1,x2使 cos x1cos x2=-1. 5 3.A 解析 不妨设 P1,P2两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中 0 1. ? 点 P1,P2处的切线,所以 l1的斜率为- ,l2的斜率为 .又 l1与 l2垂直,且 00 时,-x0 时,f(x)=ex-1+x,f(x)=ex-1+1,即 f(1) =2,曲线在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),整理得 2x-y=0. 8.1 解析 因为 f(x)=3ax2+1,所以函数在点(1,f(1),即点(1,2+a)处的切线的斜率 k=f(1)=3a+1.又切线过
9、点(2,7),则经过点 (1,2+a),(2,7)的直线的斜率 k=,所以 3a+1=,解得 a=1. 2 + 7 1 2 2 + 7 1 2 9.8 解析 对函数 y=x+ln x 求导得 y=1+ ,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率 k=y|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为 1 y=2x-1,又该切线也为函数 y=ax2+(a+2)x+1 的切线,所以由得 ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以 = 2 1, = 2+ ( + 2) + 1 ? =a2-8a=0,得 a=8 或 a=0(舍). 10.D 解析 函数 y=1+x+的图像可以看成是由 y=x+的图像向上平
10、移一个单位长度得到的,并且 2 2 y=1+,当 x时,y1,所以可确定答案为 A 或 D,又当 x=1 时,y=1+1+sin 12,由图像可以排除 (1 + + 2 ) 2 3 A,故选 D. 11.A 解析 令 g(x)=exf(x).对于 A,f(x)的定义域为 R,g(x)=ex2-x=在 R 上单调递增,所以 f(x)具有 M 性质;对于 B,f(x)的定 ( 2) 义域为 R,g(x)=exx2,g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)0 在 R 上不恒成立,所以 g(x)在 R 上不单调递增,所以 f(x)不具有 M 性质;对于 C,f(x)的定义域为 R,g(x)=e
11、x3-x=在 R 上单调递减,所以 f(x)不具有 M 性质;对于 D,f(x)的定义域为 R,g(x)=excos x,g(x) ( 3) =excos x-exsin x=ex(cos x-sin x)0 在 R 上不恒成立,所以 g(x)在 R 上不单调递增,所以 f(x)不具有 M 性质.故选 A. 6 12.D 解析 由已知得,f(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).于是当 x2 时,f(x)0;当-20,则函数 f(x)在(0,+)上是增函数,则 f(x) f(0)=1,则 f(x)在(0,+)上没有零点,不满足题意,舍去.当 a0 时,令 f(x)=0 及
12、 x0,得 x= ,则当 x 0,时,f(x)0,因此函数 f(x)的单调递减区间是 0,单调递增区间是,+ ,在 x= 处 f(x)取得极小值 f=-+1.而函数 f(x)在 3 3 3 ( 3) 3 27 (0,+)内有且只有一个零点,所以 f=-+1=0,解得 a=3,因此 f(x)=2x3-3x2+1,则 f(x)=2x(3x-3).令 f(x)=0,结合 x-1,1,得 ( 3) 3 27 x=0 或 x=1.而当 x(-1,0)时,f(x)0,当 x(0,1)时,f(x)1. 0 0 0 0 0 0 故选 B. 18.C 解析 令 g(x)=f(x)-2x2+x-1,则 g(x)=
13、f(x)-4x+13,所以不等式 f(x)3.故选 C. 19.D 解析 设切点坐标为(a,ea-1+a),由 y=(ex-1+x)=+1=ex-1+1,知切线的斜率 k=ea-1+1,故切线方程为 y-ea-1-a=(ea-1+1) ( ) (x-a),又切线过原点,所以-ea-1-a=(ea-1+1)(-a),解得 a=1,故切线方程为 y=2x.故选 D. 20.D 解析 因为 f(x)=- ,所以 f(e)=- ,得 f(e)= ,所以 f(x)= - ,令 f(x)=0,得 x=2e,所以 f(x)的极大值为 f(2e) 2() 1 2() 1 1 2 1 =2ln 2e-2=2ln
14、 2,故选 D. 21.D 解析 由题得当 x0 时,f(x)=1+ cos x0,所以函数 f(x)在0,+)上单调递增,由于函数 f(x)是偶函数,所以函数 f(x)在(- 1 2 ,0)上单调递减.由不等式 f(x)f(2x-1),得|x|2x-1|,两边平方,解得 0 在 R 上恒成立,所以 g(x)g(2),即 f(1).故选 A. (2) 2 7 23.A 解析 依题意可知,在0,1上,f(x)max-f(x)mina-2,且 a2,f(x)=(ax-1)ln a+2x,所以当 x0 时,f(x)0,函数 f(x)在0,1上单 调递增,则 f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以 f(x)max-f(x)min=a-ln a,所以 a-ln aa-2,解得 ae2.故选 A. 24. 解析 由 y=ax2,得 y=2ax,则切线的斜率 k=2a,又切线与直线 2x-y-6=0 平行,所以 2a=2,得 a=1.所以点 P(1,1)到直线 5 4 y=- =- 的距离 d=1+ = . 4 1 4 1 4 5 4 25.-4 解析 由函数 f(x)的解析式可得 f(x)=3x2-6x,令 f(x)=0,可得 x1=0,x2=2,由题意可知函数 f(x)的极大值或极小值为
