东北三省三校（ ）2019届高三第一次模拟 数学（理）含答案解析

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1、1 东北三省三校东北三省三校 2019 届高三第一次模拟届高三第一次模拟 （哈尔滨师大附中、东北师大附中、（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）辽宁省实验中学） 数学（理）试题数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1复数复数的虚部是（的虚部是（ ） A4B-4C2D-2 【答案】D 【解析】先将复数进行化简得，得出答案. 【详解】 复数= 所以虚部为-2 故选 D 【点睛】 本题主要考查了复数的化简，属于基础题. 2集合集合，则，则（ ） ABCD 【答案】B 【解析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案. 【详解】 因为可得，集合， 所以 故选 B 【点睛】 本题主要考查了交集的

2、定义，属于基础题. 3已知向量已知向量的夹角为的夹角为，则，则（ ） ABCD 2 【答案】C 【解析】由题，先求出，可得结果. 【详解】 所以 故选 C 【点睛】 本题主要考查了数列的运算，属于基础题. 4设设，则，则的大小关系为（的大小关系为（ ） ABCD 【答案】A 【解析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出 求得答案. 【详解】 因为是单调递减的，且， 所以； 又因为在是单调递增的， 所以 综上， 故选 A 【点睛】 本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键. 5等差数列等差数列的前的前 项和为项和为，且，且，则，则（ ） A30

3、B35C42D56 3 【答案】B 【解析】先根据题目已知利用公式求出公差 ， ，再利用求和公式得出结果. 【详解】 因为是等差数列，所以， 所以公差 ， 根据求和公式 故选 B 【点睛】 本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题. 6中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、 蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一

4、个，三位同学依次选一个作为礼 物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取 礼物都满意，则选法有（礼物都满意，则选法有（ ） A30 种种B50 种种C60 种种D90 种种 【答案】B 【解析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果. 【详解】 若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 中任意选，所以共有 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 中任意选，所以共有 所以共有种 故选 B 【点睛】 本题主

5、要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题. 7执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为的值为 4，第二次输入的，第二次输入的 的值为的值为 5，记第一次，记第一次 4 输出的输出的 的值为的值为，第二次输出的，第二次输出的 的值为的值为，则，则（ ） A2B1C0D-1 【答案】D 【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果. 【详解】 当输入 x 的值为 4 时， 第一次不满足 ，但是满足 x 能被 b 整除，输出； 当输入 x 的值为 5 时， 第一次不满足 ，也不满足 x 能被 b 整除，故 b=3 第二次

6、满足 ，故输出 则-1 故选 D 【点睛】 本题主要考查了程序框图，属于较为基础题. 8如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系中，过坐标原点中，过坐标原点 作曲线作曲线的切线，切点为的切线，切点为 分别作分别作轴的垂线，垂轴的垂线，垂 足分别为足分别为，向矩形，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ） 5 ABCD 【答案】A 【解析】先设出切点，利用切线过原点求出切点 P 的坐标，再用积分求出阴影部分的面积， 最后用几何概型求得结果. 【详解】 设切点， 所以切线方程，又因为过原点 所以解得 所以点 P 因为与 轴在围成的面积是 则阴影

7、部分的面积为 而矩形的面积为 故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选 A 【点睛】 6 本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题. 9已知已知是不重合的平面，是不重合的平面，是不重合的直线，则是不重合的直线，则的一个充分条件是（的一个充分条件是（ ） A，B， C，D， 【答案】C 【解析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，得出，再得出， 得出答案. 【详解】 对于答案 A：，得出与 是相交的或是垂直的，故 A 错； 答案 B：，得出与 是相交的、平行的都可以，故 B 错； 答案 C：，得出，再得出，故 C 正确； 答案 D:

8、，得出与 是相交的或是垂直的，故 D 错 故选 C 【点睛】 本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关 键所在，属于较为基础题. 10双曲线双曲线 的左焦点为的左焦点为，点，点 的坐标为的坐标为，点，点 为双曲线右支上为双曲线右支上 的动点，且的动点，且周长的最小值为周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ） ABC2D 【答案】D 【解析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共 线，求出 a 的值，再求出离心率即可. 【详解】 由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义

9、可知 7 所以周长为： 当点共线是，周长最小 即解得 故离心率 故选 D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题. 11各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列的前的前 项和项和，若，若，则，则的最小值为（的最小值为（ ） A4B6C8D12 【答案】C 【解析】由题意，根据等比中项得出 ，然后求得公比首项，再利用公式 求得，通项带入用基本不等式求最值. 【详解】 因为，且等比数列各项均为正数，所以 公比首项 所以 ，通项 所以 当且紧当 8 所以当时，的最小值为 8 故选 C 【点睛】 本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等

10、式，属于小综合题型，属于中档 题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”. 12中，中，中，中，则，则的取值范围是的取值范围是 （ ） AB CD 【答案】C 【解析】根据题意，建立直角坐标系，设点 D 的坐标，然后分析点 D 的位置，利用直线的夹 角公式，求得点 D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可. 【详解】 由题，以点 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系； 设点，因为，所以由题易知点 D 可能在直线 AB 的上方，也可能在 AB 的下方； 当点 D 可能在直线 AB 的上方； 直线 BD 的斜

11、率；直线 AD 的斜率 由两直线的夹角公式可得： 化简整理的 可得点 D 的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点 D 在 AB 的上方，所以是圆在 AB 上方的劣弧部分； 此时 CD 的最短距离为： 9 当当点 D 可能在直线 AB 的下方； 同理可得点 D 的轨迹方程： 此时点 D 的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点 D 在 AB 的下方，所以是圆在 AB 下 方的劣弧部分； 此时 CD 的最大距离为： 所以 CD 的取值范围为 【点睛】 本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题. 二、填空题二、填空题 13已知已知满足约束条件：满足约束条件：，则，则的最大值

12、是的最大值是_ 【答案】3 【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案. 【详解】 满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点 A 时取最大值， 10 即 故答案为 3 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题. 14甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会我会”，乙说：，乙说：“我不会我不会”，丙说：，丙说：“甲不会甲不会”， 如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_ 【答案】乙 【解析】根据题意，假设结论，根据他们所说的

13、话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案. 【详解】 假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会； 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意， 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾； 故答案是乙 【点睛】 本题主要考查了推理证明，属于基础题. 15已知函数已知函数是定义域为是定义域为的偶函数，且的偶函数，且为奇函数，当为奇函数，当时，时， ，则，则_ 【答案】 【解析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性 推出的周期，可得，然后带入求得结果. 【详解】 因为为奇函数，所以 又因为是定义域为的偶函数，所以 即 所以的周期 因为 11

14、 所以 故答案为 【点睛】 本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题. 16四面体四面体中，中，底面底面，则四面体，则四面体的外接球的外接球 的表面积为的表面积为_ 【答案】 【解析】根据题意，证明出 CD平面 ABC，从而证明出 CDAC，然后取 AD 的中点 O，可得 OC=OA=OB=OD，求出 O 为外接球的球心，然后求得表面积即可. 【详解】 由题意，可得 BCCD， 又因为底面，所以 ABCD，即 CD平面 ABC，所以 CDAC 取 AD 的中点 O，则 OC=OA=OB=OD 故点 O 为四面体外接球的球心，因为 所以球半径 故外接球的表面

15、积 故答案为 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17设函数设函数. （1）当）当时，求函数时，求函数的值域；的值域； （2）中，角中，角的对边分别为的对边分别为，且，且，求，求的面积的面积. 12 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得 ，再根据 x 的取值，求得值域； （2）根据第一问求得角 A，再根据正弦定理求得角 B，然后再求得角 C 的正弦值和边 b，利用 面积公式求得面积. 【详解】 （） ， 函数的值域为 （） ，即 由正弦定理， ， ， 【点睛】 本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、 降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题. 18世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视亿，高中生和大学生的近视 率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时