北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题（一）含答案解析

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1、1 北京市第四中学北京市第四中学 20192019 年高考调研卷年高考调研卷 文科数学试题文科数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 2020 小题，满分小题，满分 150150 分分. . 考试用时考试用时 120120 分钟分钟. . 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1.已知集合，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图象可知阴影部

2、分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可 【详解】由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为， 或，0，1， ， 即， 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础 2.复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：化简复数 z，写出它的虚部即可 详解：复数 z=i， z 的虚部是1 2 故选：D 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设， 则， . 3.一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：求出满足

3、条件的正三角形 ABC 的面积，再求出满足条件正三角形 ABC 内的点到正方形的顶点 A、B、C 的距离均不小于 2 的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案 详解：满足条件的正三角形 ABC 如下图所示： 其中正三角形 ABC 的面积 S三角形=16=4， 满足到正三角形 ABC 的顶点 A、B、C 的距离至少有一个小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示， 则 S阴影=2， 则使取到的点到三个顶点 A、B、C 的距离都大于 2 的概率是： P=1=1， 故选：A 点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就 是度量比，一般是长度、面积

4、、体积. 4.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的 k 值是（ ） 3 A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】B 【解析】 试题分析：由程序框图知第一次运行；第二次运行；第 次 运行 ，当输入时，由得，程序 运行了 次，输出的 值为 考点：程序框图. 5.已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图所示， ， ， 分别是三边的中点）后得到的几何体如图，则该几何体的侧视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 4 因为平面平面， 所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选 A 6.中国古代数学著作算法统宗巾有这样一个

5、问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半， 六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”问此人第 4 天和第 5 天共走了 A. 60 里B. 48 里C. 36 里D. 24 里 【答案】D 【解析】 【分析】 每天行走的里程数是公比为 的等比数列，且前 和为，故可求出数列的通项后可得. 【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为 的等比数列， 所以，故（里） ，所以（里） ，选 C. 【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型

6、，这类问题往往是基础题. 7.的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由正弦定理可得，可得 ，由，可得 ，由 为三角形内角，可得，由正弦定理可得 由，可得，故选 D. 8.已知直线与圆 ：相交于 ， 两点（ 为坐标原点） ，且为等腰直角三角形，则 实数 的值为（ ） A. 或B. 或C. D. 【答案】B 【解析】 5 直线与圆 ：相交于 ， 两点（ 为坐标原点） ，且为等腰直角三角形，到 直线的距离为 ，由点到直线的距离公式可得. 故选 B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分

7、 9.若变量 ， 满足不等式组则的最大值为_ 【答案】1 【解析】 表示到的斜率， 由可行域可知，过点或时，斜率最大，即。 点睛：本题考查线性规划的应用。首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法。然后要 掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质。 10.如图，有 5 个全等的小正方形，则的值是_ 【答案】1 【解析】 由平面向量的运算可知，而， 6 所以， 注意到不共线，且， 即，所以，即 11.已知四棱锥的外接球为球 ，底面是矩形，面底面，且， ，则球 的表面积为_ 【答案】 【解析】 设球心为 ，半径为 ， 到底面的距离为

8、， 四棱锥的底面是矩形，侧面是等边三角形，且有侧面底面， 四棱锥的高为，底面矩形外接圆半径为， ， ， 四棱锥的外接球表面积为，故答案为. 12.如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为 一水池，其余的地方种花，若，设的面积为，正方形的面积为，当 固定， 变化时，则的最小值是_ 【答案】 【解析】 ，令，则 ，函数在上递减，因此当时，有 最小值，此时，当时， “规划合理度”最小，最小值为 ，故答案为 . 13.如图所示，格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 是_ 7 【答案】 【解析】 【分析】 由已知中的三视

9、图可得：该几何体为边长为 2 的正方体中挖去一个圆锥，数形结合可得答案 【详解】解：该几何体直观图为边长为 2 的正方体中挖去一个如图所示的圆锥， 该几何体的表面积为 S622+124+（1） ， 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几 何量是解题的关键，属于中档题 14.已知首项为 2 的数列的前 项和满足： ，记 ，当取得最大值时， 的值为_ 【答案】8 【解析】 因为，所以，所以.所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，公比为 2 的等比数列， 所以，即， 8 所以数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以，即.

10、 所以， 因为对称轴，所以当时，取得最大值 故答案为：8. 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法： （1）研究数列的单调性，利用单调性求最值； （2）可以用或； （3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.设数列an的前 n 项之和为，数列bn满足. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列bn前 n 项之和 Tn. 【答案】 （1） ； （2）. 【解析】 【分析】 （1）利用递推关系，两式作差即可得出； （2），利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出 【详解】(1)当

11、 n1 时，a1S13， 由得 anSnSn13n(n2) 又 a1也符合， an3n(nN N) (2) 所以 9 . 【点睛】本题考查了“分组求和法” 、 “裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 16.函数在它的某一个周期内的单调减区间是将的图象先向 左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，所得到的图象对应的函数记为 （）求的解析式； （）求在区间上的最大值和最小值 【答案】 （1）（2）最大值为 1，最小值为 【解析】 试题分析：根据已知及周期公式求得 的值，然后求出 的值，从而可求出的解析式，进而得到 确定的单调性，然后求

12、出最值 解析：（1）,又 ， （2） g(x)在为增函数，在上为减函数，所以，,故函 数在上的最大值和最小值分别为 1 和- 17.已知长轴长为 4 的椭圆过点，点 是椭圆的右焦点. (1)求椭圆方程； (2)是否在 轴上的定点 ，使得过 的直线 交椭圆于两点.设点 为点 关于 轴的对称点，且三点 共线？若存在，求 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）；（2）存在定点满足条件. 【解析】 分析：（1）根据题意得到 和 ，从而得椭圆方程； （2）设，直线 方程为，与椭圆联立得，设， ，则，由三点共线有：，即， 10 结合韦达定理即可得解. 详解： （1） ， ，点代入 有： 椭圆方程为

13、： （2）存在定点满足条件：设，直线 方程为，联立 消 有，设，则 ，且 由三点共线有： ， 存在定点满足条件. 点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲 线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而 计算出结果，本题需要一定的计算能力. 18.如图，在棱长为 的正方体中， ， 分别在棱，上，且. （1）求异面直线与所成角的余弦值. （2）求四面体的体积. 【答案】 （1） ； （2） . 【解析】 11 【分析】 （1）通过补形法得到异面直线 A1E 与 C1F 所成的角，利用余弦定理求解

14、； （2）证明平面，然后利用等积法求四面体的体积 【详解】 （1）在正方体中，延长至，使，则. . 为异面直线与所成的角. 在中， . （2）在上取一点 ，使. ，从而，平面， . 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力与计算能 力，是中档题 19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度 （单位：分贝）与声音 能量 （单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量 （，2，10）数据作了初 步处理，得到如图散点图及一些统计量的值 12 表中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度 关于声音能量 的回归

15、方程类 型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据表中数据，求声音强度 关于声音能量 的回归方程； （3）当声音强度大于 60 分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点 共受到两个声源的影响，这两个声 源的声音能量分别是 和 ，且已知点 的声音能量等于声音能量 与 之和请根据（1）中 的回归方程，判断 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析. 【解析】 分析：（1）根据散点图，可知（2）利用回归系数公式先求出 D 关于 w 的回归方程，再转化为 D 关于 I 的回归方 程； （3）利用对数的运算性质和基本不等式求出 I 的最小值，计算 的最小值，从而作出判断 详解：（1）更适合 （2）令，先建立 关于的线性回归方程， 13 由于， ， 关于的线性回归方程是，即 关于 的回归方程是 （2）点 的声音能量， ， 根据（1）中的回归方程，点 的声音强度 的预报值 ， 点 会受到噪声污染的干扰 点睛：求线性回归直线方程的步骤 （1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系； （2）求系数 ：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出 部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求 ； （3）求 ： ； （4）写出回归直