《高考数学命题热点名师解密专题：解创新数列之匙（理）含答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学命题热点名师解密专题：解创新数列之匙（理）含答案解析（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 18 解创新数列之匙解创新数列之匙 一 【学习目标】 1会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题 2掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法 【知识要点】 1数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集 1，2，n上的函数 (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程 (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究 (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等 1数列综合问题中应用的数学思想 (1
2、)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集 1，2，n上的函数 (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程 (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究 (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等 二 【方法总结】 1.数列模型应用问题的求解策略 (1)认真审题，准确理解题意. (2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前 n 项和公式求解，或通过探 索、归纳、构造递推数列求解. (3)验证、反思结果与实际是否相符. 2.数列综合问题的求解程
3、序 (1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解. (2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题. 三题型典例分析 1.数列与函数的综合 例 1. 设函数 f x是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数, x y有，已知 2 1 1 2 f ，若一个各项均为正数的数列 n a满足，其中 n S是数 列 n a的前n项和，则数列 n a中第 18 项 18 a（ ） A. 1 36 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及
4、公式 的应用，属于难题.已知 n S求 n a的一般步骤：（1）当1n 时，由 11 aS求 1 a的值； （2）当2n 时，由，求得 n a的表达式；（3）检验 1 a的值是否满足（2）中的表达式，若不 满足则分段表示 n a；（4）写出 n a的完整表达式 练习 1. 设函数 f x是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数, x y有，已知 1 1 2 f ，若一个各项均为正数的数列 n a满足，其中 n S是数 列 n a的前n项和，则数列 n a中第 18 项 18 a（ ） A. 1 36 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】f（Sn）=f（an）+f（an+1）-
5、1=f 1 2 an（an+1）函数 f（x）是定义域在（0，+）上的单调函数， 数列an各项为正数Sn= 1 2 an（an+1）当 n=1 时，可得 a1=1；当 n2 时，Sn-1= 1 2 an-1（an-1+1）， -可得 an= 1 2 an（an+1）- 1 2 an-1（an-1+1）（an+an-1） （an-an-1-1）=0 3 an0，an-an-1-1=0 即 an-an-1=1数列an为等差数列，a1=1，d=1；an=1+（n-1）1=n 即 an=n 所以 18 18a 故选 C 练习 2.已知是R上的奇函数， ，则数列 n a的通项公式为（ ） A. n an
6、 B. 2 n an C. 1 n an D. 【答案】C 【解析】是奇函数，令 1 2 x ， 令 1 2 x ， 令 11 2 x n ，令 11 2 x n ， ，同理可得， ， 故选C 练习 3. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令 f(x)=x3+2016x,则 f(x)=3x2+20160， 所以 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数。 由条件得,f( 2013 1a)=1,f( 4 1a )=1， 4 ,从而 4 a+ 2013 a=2， 又等差数列 n a的前n项和为 n S，
7、所以 2016 S= = =2016， 因为 f( 2013 1a)=1,f( 4 1a )=1,f(x)在 R 上单调递增， 所以 4 1a 2013 1a,即 4 a 2013 a， 故选：D. 练习 4. 数列 12 , n a aa是正整数1,2,n的任一排列，且同时满足以下两个条件： 1 1a ；当2n 时， (). 记这样的数列个数为 f n. （I）写出的值； （II）证明2018f不能被 4 整除. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）依题意，易得：；（2）把满足条件的数列称为 n项的首项最小数列.对于n个数的首项最小数列，由于 1 1a ，故 2
8、 2a 或 3.分成三类情况，利用已知条件 逐一进行验证即可. 试题解析： （）解：. （）证明：把满足条件的数列称为n项的首项最小数列. 对于n个数的首项最小数列，由于 1 1a ，故 2 2a 或 3. （1）若 2 2a ，则构成1n项的首项最小数列，其个数为1f n； （2）若，则必有 4 4a ，故构成3n项的首项最小数列，其个数为 3f n； （3）若 2 3,a 则 3=4 a或 3 5a . 设 1k a 是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是， 1k a 是2k或22k ，即 k a与 1k a 是相邻整数. 5 由条件，这数列在 1k a 后的各项要么都小于它，要么都大
9、于它，因为 2 在 1k a 之后，故 1k a 后的各项都小 于它. 这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数. 综上，有递推关系：， 5n . 由此递推关系和（I）可得，各数被 4 除的余数依次为： 1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0， 它们构成 14 为周期的数列，又， 所以2018f被 4 除的余数与 2f被 4 除的余数相同，都是 1， 故2018f不能被 4 整除. 2 特殊数列 例 2.已知数列,则 2017 a一定是 A. 奇数 B. 偶数 C. 小数 D. 无理数 【答案】A 【解析】因为,所以,则数列 n a从 第 3 项
10、开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为 1,是奇数,所以从第三项开始,第 3n 项均为偶数,第 3n+1 项均为奇数,第 3n+2 项均为奇数,所以 2017 a一定是奇数. 【方法规律总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列) 等方法. (2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝 对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于 符号交替出现的情况，可用处理. 练习 1
11、已知数列 n a满足，则 10 a（ ） 6 A. 30 e B. 40 e C. 110 3 e D. 100 3 e 【答案】C 【解析】 ， 2 3 1 n n n ae （） 100 3 10 ae 故选 C. 练习 2. 设 n S为数列 n a的前n项和，且 12 32aa.记 n T 为数列 1 nn aS 的前n项和，若，则m的最小值为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 【答案】A 【解析】由 2anan1=32n1（n2） ，得， 由 2anan1=32n1（n2） ，且 3a1=2a2， 可得 2a2a1=6，即 2a1=6，得 a1=3 数列1 2
12、 n n a 是以 1 2 为首项，以 1 4 为公比的等比数列， 则 （2+22+23+2n）22n21n 7 对nN*，Tnm， m 的最小值为 1 3 故答案为 A。 【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公 式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的 表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和 0 比研究单调性，直接研究表达式的单调性。 3.数列的性质 例 3. 已知数列则 7 a （ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 1 4 或 1 D. 1 2 【答案】B 【解析】由条件可
13、知，两边去倒数得是等差数列，故 ，故得 故答案选 B 【方法总结】已知数列要求通项，可以两边取倒数，得到 1 n a 是等差数列，已知 1 1a 可以求出 1 1 1 a ，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再取倒数可以 求出 2 1 n a n ，代入 n=7,求得结果即可. 练习 1. 数列 n a定义为 1 0a ， 11 aa， * nN （1）若，求的值； （2）当0a 时，定义数列 n b，是否存在正整数, i j ij，使 得.如果存在，求出一组, i j，如果不存在，说明理由. 8 【答案】(1)2；(2)答案见解析 【解析】试题分析： (1)由题意可得，裂项求和有的值是
14、 2； (2)结合所给的递推关系讨论可得存在一组满足题意. 试题解析： (1) 所以 故 所以 （2）由 得，两边平方 所以 当 1k ba时，由知 又，数列 n a递增，所以 21k ba 类似地， 又 9 所以 存在正整数, i j ij， 存在一组 练习 2. 在数 1 和 2 之间插入 n 个正数，使得这 n+2 个数构成递增等比数列，将这 n+2 个数的乘积记为 n A， 令 (1)数列 n a的通项公式为 n a=_； (2) =_ 【答案】 2 2 n ; 【解析】 1设在数1和2之间插入n个正数，使得这2n个数构成递增等比数列 n b 则，即 1 2 n qq ，为此等比数列的
15、公比 故数列 n a的通项公式为 2 2 n n a 2由 1可得，又 10 , * nN 故答案为 练习 3. 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n A和 n B，且， 5 5 a b ， n n a b 为整数 的正整数n的取值集合为 【答案】9； 2,3,5,11 【解析】试题分析： 由等差数列的性质和求和公式可得，可得n的取值。 即13n 或14n 或16n 或 n112 ,从而 n2,3,5,11,即集合为2 3511， 故 n n a b 为整数的正整数n的取值集合为2 3511， 4数学文化与数列的应用 例 4 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 70 万元，同时将受到环保部门的
