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1、1 上海交通大学附属中学上海交通大学附属中学 2018-20192018-2019 学年度第二学期学年度第二学期 高三数学月考一试卷高三数学月考一试卷 2019.32019.3 一、填空题（第一、填空题（第 1 1 题至第题至第 6 6 题，每题题，每题 4 4 分；第分；第 7 7 题至第题至第 1212 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 5454 分）只要求直接填写结果，分）只要求直接填写结果， 否则一律得零分否则一律得零分 1、二项式的展开式中，项的系数为 5 2x 3 x 2、若，用列举法表示 1,2,3A 3,5B 2,ABab aA bB 3、已知、是实系数一元二次方程的两个
2、根，则 bi2,ai a bR 2 0xpxqq 4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有 54 篇，人文类课题论文 60 篇，其他论文 39 篇，为 了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取 51 篇进行审核， 则抽取的社科类课题论文有 篇 5、设，行列式中第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作，函数的0,1aa log11 201 223 ax D y yf x 反函数经过点，则 1,2a 6、国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海 召开，其会标如右图，包含着许多数学元素主画面是非
3、常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺 线组成，主画面标明的 ICME-14 下方 的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数 3744， 也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，n 则 （其中 为虚数单位） 1 2 n i i 7、在三棱锥中，DABC2ACBC3CD 平面，若其主视图、俯视图CDABC90ACB 如图所示，则其左视图的面积为 8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10 个班的 12 位同学，其中高一（3）班、高二（3） 各出 2 人，其余班级各出 1 人，这 12 人中要选 6 人 为主力队员，则这 6 人来自不同的
4、班级的概率为 9、已知是周期为的函数，且，则方程的 yf x sin ,0, 2 ,0 2 x x f x x x 1 4 f x 解集为 2 10、若函数的图像与轴交于点，过点的直线 与函教的图像交于另外两点、 arcsin1f xxxAAlP ，是坐标原点，则 QOOPOQOA 11、已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称 22 ,1Mx y xy, ,x yM,xyM 是集合的“可行数对” 以下集合中，不存在“可行数对”的是 , M ； ；,1 22 ,1 43 ； 22 ,2 2 ,4 12、对任意，函数满足：，数列的前 15xR f x 2 1 1 2 f xf xfx 2 n
5、afnf n n a 项和，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 31 16 n c 1 2019 n nn ccf n cn 1 c 二、选择题（每题二、选择题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13、，则角所在的象限是：（ ）coscot0 A第二或第三象限 B第一或第四象限 C第三或第四象限 D第一或第二象限 14、如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为PABCPAABCDBCPDABC ，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）BC A B C D不能确定 15、已知，则函数的大致图像是（ ）nNxR 2 2 lim 2 n n n x f x x 1
6、6、已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设P 22 1 916 xy 12 ,F F ，则的最大值为（ ） 1221 ,PF FPF F sinsin A B C D 3 7 7 4 7 7 9 8 3 2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）解答下列各题必须写出必要的步骤分）解答下列各题必须写出必要的步骤 1717、 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 3 函数（，） cosf xAx0A
7、0 2 部分图像如图所示 （1）求的最小正周期及解析式； f x （2）设，求函数在区间 sin2g xf xx g x 上的最大值和最小值0, 2 x 1818、 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径P 1 OOOABO （1）若圆柱的体积为， 1 OOV122OA120AOP 求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果） ； 1 A BAP （2）若圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，四面体 1 OO 1 AA
8、 BP 的外接球为球，求两点在球上的球面距离G,A BG 1919、 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 现有一长为 100 码，宽为 80 码，球门宽为 8 码的矩形 足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的CD 4 直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员AB （将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角PAPB （1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离 1 DDP 为码，试求当为何值时最大；PDxxAPB （2）理论研究和实践经
9、验表明：张角越大，射门APB 命中率就越大现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线 的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门 点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求AB 在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹 11 ADD AAB 2020、 （本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分 已知曲线的方程为C 2 2 10xayax a （1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标； 1 2 aC （2）若直
10、线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否 2 : 2 l yxaCMNMN2C 存在不同的两点、关于直线 对称？ABl （3）当为大于 1 的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线 ，又a 11 ,P x yCP 2 1 1 1ax y l 设为原点到直线 的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该dl 12 ,r rPC 12 rrd 定值 2121、 （本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分
11、小题满分 8 8 分分 数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且 n a 11 2 nnn aaa 2,nn N n Sn 48 4,36aS （1）求数列的通项； n a n a （2）数列满足，其中 n b 12122321 21 3 212 n nnknknn bab ab ab aa 1,2, ,kn n N 证明：数列为等比数列； n b 5 求集合 3 , p m mp a a m pm p bb N 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1、 2、 3、5 4、18 5、2 6、 7、 8、 401, 3 1 3 2 19 33 9、 10、2 11、 12、 11 arcsi
12、n 44 x xkxkk Z或 3 7 二、选择题二、选择题 13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题三、解答题 17、 （1）； cos 2 6 f xx 6 （2）在区间上的最大值为，最小值为 g x0, 2 x 3 3 2 18、 （1）异面直线与所成的角为； 1 A BAP 2 3 arccos 5 （2）两点在球上的球面距离为,A BG 2 2 RAGB 19、 （1） tantan 3644 tantan 1tantan 1 36 44 xx DPBDPA APBDPBDPA xx DPBDPA ， 2 88883 11 1584 158411158424 11 2 x
13、x x x x x 当且仅当，即时，取得最大值， 1584 x x 12 11xtanAPB 3 11 11 又在上单调递增，当取得最大值时，最大，tanyx0, 2 tanAPBAPB ，取得最大值；12 11xAPB 3 11 arctan 11 （2）过点作于，设点，其中，PPECDE,P x y0x440y tantan44 tantan 1tantan 1 44 xx EPBEPAyy APBEPBEPA xx EPBEPA yy ， 2 22 22 2 416888 161616 16 2 yx yyxy y x x x x 当且仅当，即时，取得最大值， 2 16y x x 2 16xytanAPB 2 2 416 16 y y 此时轨迹方程为， 22 10,440 1616 yx xy 其表示焦点为，实轴长为 8 的等轴双曲线在的一部分 0, 4 20,440xy 20、 （1）当时，两边平方并化简得， 1 2 a 2 2 11 1 22 xyx 2 2 1 3 4 y x 曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为 1，短半轴长为，焦点坐标为；Cx 3 2 1 ,0 2 7 （2）将代入，消去， 2 : 2 l yxa
