高考数学命题热点名师解密专题：空间几何体的表面积和体积（理）含答案解析

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1、1 专题专题 20 空间几何体的表面积和体积解题方法空间几何体的表面积和体积解题方法 一【学习目标】 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质 2了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间 的内在联系 3能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它 们的直观图 4会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图 二 【知识要点】 1.三视图 空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形 状和大小是全等

2、和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视 2空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴、y轴，两轴 相交于点 O，且使xOy45，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段在直观图中平行于 x轴、y轴；已知图 形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半 3.有关斜二测画法的常用结论与方法 (1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 S与原平面图形的面积 S 之间的关系是 SS. 2 4 (2)对于图形中与 x

3、轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平 行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置. 4.有关三视图的基本规律 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画 三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高. (2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则. 5特殊多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱). 2 (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥

4、.特别地，各条棱均相等的正三棱 锥又叫正四面体. (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱. 三高考题型典例及训练 （一）空间几何体 例 1如图，透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于水平地面上， 再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： 有水的部分始终呈棱柱形； 没有水的部分始终呈棱柱形； 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； 棱 A1D1始终与水面所在平面平行； 当容器倾斜如图(3)所示时，BEBF 是定值 其中所有正确命题的序号是 _ 练习 1已知四面体PABC中， 4PA ， 2 7AC ， PA 平面PBC，则四面 体

5、PABC的内切球半径为_ 【答案】 3 4 【解析】 由题意，已知PA 平面PBC， 所以，由勾股定理得到，即PBC为等边三角形， ABC为等腰三角形，可求得四面体的体积为 根据等体积法有：， 几何体的表面积为 所以，可解得 3 4 r . 点睛：本题考查了组合体问题，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征，三棱锥锥的体积计算与体积的分 割等知识点的应用，其中充分认识空间组合体的结构特征，以及等体积的转化是解答此类问题的关键. 练习 2如图，在棱长为 4 的正方体中， E， F分别为AB、 1 DD的中点，点P是 3 1 DD上一点，且PB 平面CEF，则四棱锥PABCD外接球的体积为_. 【答

6、案】 41 41 6 【解析】连接BD交CE于O，则，连接OF，则当BPOF时， PB 平面CEF，则 1 2 PF FD ，F是 1 DD的中点， 1 4DD ，3DP ，又四棱锥PABCD外接球就是三棱锥 PABC的外接球，三棱锥PABC外接球的直径为，则所求体积为 41 41 6 . 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系， 得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距 离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直 线上任一点到多边形

7、的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两 个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离， 球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱 锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. （三）旋转体问题 例 3已知等腰三角形的周长为，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时， 这个三角形的底边长为_ 【答案】 4 【详解】如图，设，则底边长为， 绕底边所在直线旋转一周所形成的几何体可以看成两个相同圆锥的组合体，圆锥的高， 底面半径， 则圆锥的体

8、积为， 所求几何体的体积为， 所以，令，解得， 易得是函数的定义域内的唯一极值点，也是最大值点， 因此当腰长为，底边长为 时，旋转体的体积最大故这个三角形的底边长为 【点睛】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，利用导数解决最值问题是常用的方法，属于中等题 练习 1圆(x-l)2+y2=2 绕直线 kx-y-k=0 旋转一周所得的几何体的表面积为_. 【答案】8 【解析】圆 圆心为1,0 直线恒过圆心1,0 旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径 故答案为 8. 点睛：本题考查几何体的表面积的求法及圆、球等基础知识，解答本题的关键是直线恒过已知 5 圆的圆心，从而可知圆绕

9、直线旋转一周后所得的几何体是球，进而求出球的半径 练习 2下列结论不正确的是_（填序号）. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥； 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 【答案】 【解析】错误，如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不 是棱锥. 错误，如图，若ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不 是圆锥. 错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何

10、图形知，若以正六边形为底面，侧 棱长必然要大于底面边长. 正确，符合圆锥曲线母线的定义，故错误的是. 考点: 旋转体的结构特征. （四）投影问题 例 4如图所示，棱长为 1 的正方体中，若 ， 分别为，的中点， 是正方形 的中心，则空间四边形在该正方体的面上的投影的面积的最大值为_ 【答案】 6 【解析】看出空间四边形 AEFG 在该正方体的各个面上的投影，看出投影的形状和大小，有两个能够直接做 出面积，不能直接作出面积的用正方形面积减去去掉的面积，比较得到结果 【详解】空间四边形在该正方体的上、下面上的投影是一个等腰三角形，腰长是，底边长是，故 这个投影的面积是 空间四边形在该班方体的前、后

11、面上的投影是一个四边形，它的面积是； 空间四边形在该正方体的左、右面上的投影是一个三角形，它的面积是 故答案为： 练习 1半径为R的球O放置在水平平面上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R， 则从点P发出的光线在平面上形成的球O的中心投影的面积等于_ 【答案】 2 3R 【解析】轴截面如图 1 所示，中心投影的面积为 2 3R 故答案为： 2 3 R 练习 2如图，在棱长为 1 的正方体中， ,M N分别是 1, BB BC的中点，则图中阴影部 分在平面 11 ADAD上的投影的面积为 _ 【答案】 1 8 【解析】图中点M在平面的投影是 1 AA的中点，点N在平面的投影是AD的

12、中点，点D的投影还是点D,连 接三点的三角形的面积是，故填： 1 8 . （五）直观图 例 1已知水平放置的ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 BO=CO=2，BAC=90，则 原ABC 的面积为_ 7 【答案】8 【解析】根据“斜二测画法”原理还原出ABC，利用边长对应关系计算原ABC 的面积即可 【详解】根据“斜二测画法”原理，还原出ABC，如图所示； 由 BOCO2，BAC90， OABC2， 原ABC 的面积为 SBCOA448 故答案为：8 练习 1如图所示，表示水平放置的的直观图， 在 轴上，与 轴垂直，且，则 的边上的高为_ 【答案】 8 【点睛】本题考查了平面图

13、形的直观图，画水平放置的平面图形的直观图时，在原系下在坐标轴上或平行于 坐标轴的线段，在新系下仍在坐标轴上或平行于坐标轴，横轴的长度不变，纵轴的减半 练习 2如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若, , ,则四边形的面积是_. 【答案】5 【解析】根据斜二测画法知，四边形 ABCD 是上底为 2 下底为 3，高的直角梯形，利用梯形公式即可 求解. 【详解】由直观图知，四边形 ABCD 中，ABCD, ,因为，所以，且, 根据梯形面积公式，故填 5. 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的表面积为_ 【答案】 【解析】首先还原几何体，然

14、后计算表面积 9 【详解】 由三视图得到几何体如图：是正方体的一部分，四棱锥 P-ABCD， 所以几何体的表面积为 故答案为： 练习 2如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_ 【答案】 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的 基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的 宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图， 根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出 整体，然

15、后再根据三视图进行调整. （七）柱、锥、台的体积 例 7由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_ 10 【答案】 【解析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为 个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方 体的体积公式，即可求解. 【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为 个圆柱，中间为一个长方体， 由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积， 圆柱的底面半径为 1，高为 1，则 圆柱体的体积， 则该几何体的体积. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时， 要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以 三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关 系和数量关系，利用相应体积公式求解. 练习 1四棱锥的三视图如图所示（单位：） ，则该四棱锥的体积是_ 【答案】12 【解析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积 【详解】由三视图得到几何体如图： 体积为12； 故答案为：1