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1、关于水库排污问题的数学建模姓名：栗晨阳班级：数学112学号：3110801233 指导老师： 周金明 成 绩： 完成日期： 2013年7月3日摘 要 本文针对水库突发性事故排污问题，首先通过建立二维水质污染物浓度模型，给出了单个水库对干流造成大面积污染的可能性；然后建立两水库排污模型，分析了在另一水库有连续点源污染物排放及水流相互影响的情况下，两水库对干流造成大面积污染的可能性大小；并进一步针对第三种情况的发生，给出在短时间内控制污染的有效措施；且讨论了若污染物具有挥发性，上述各情况造成干流发生大面积污染的可能性大小，为水库事故性排污问题提供了有价值的理论依据。关键词：水库排污；污染物浓度；流
2、量；水流速度一、问题的提出1、 问题的背景某条江流上有2条支流，每条支流上都兴建了规模相当的水库。由于正处在雨水多发季节，因此两个水库都以一定规模的流量进行泄洪。某天晚上10：00，在其中的一个水库中发生了两船相撞的事故，而其中的一条船装载的p吨化学物质（这里的化学物质可以是具有挥发性的，也可能是急难挥发的）全部泄漏至水库中。当水上航运事故处置中心接获事故报告，立即要求该水库关闭水库泄洪闸，以免化学物质随洪水流入干流，发生更大规模的污染。水库闸门开始关闭时，已经处在事故发生后的1个小时，而水库闸门彻底关闭也需要1个小时的时间。 根据当地环境监测的有关规定，干流大面积污染的危险警戒值设为：三小时
3、内q吨该化学物质发生泄漏。2、面临的问题(1) 试建立合理的数学模型，讨论由于此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性；(2) 如果在另外的一水库中有一化工厂违规排放废料。废料中同样含有该化学物质。该工厂为躲避环境监测站的监控，均在晚上9：00-12：00违规进行周期性排放。在这种情形下，讨论由于此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性；(3) 如果以上两个水库间有一条人工修建的水渠相连接，水渠中的水流流向不定，但保证两水库之间的水流能够相互影响。那么上述结果是否会改变？请给出说明，若有改变，则给出修正的模型及结果；(4) 如果发生了大面积污染，那么针对第三种情况，试给出在短时间内控制污染
4、模型。二、问题的分析 由题目的背景知道，事故发生时两水库都正在泄洪，因此此时水库中的水流速水库较快。而泄露到水库中的化学物质不论是具有挥发性的，还是急难挥发的，它们对干流污染的情况总是类同的，因此我们总可以认为污染物是易溶急难挥发性物质。为使我们的模型简单，我们可以先假设事故发生在水库1中，污染物在水库中的分布是符合零维迁移模型的，此时流入水库的污染物能以很快的速度与水库中的水均匀混合，水库中任何部份水体的污染状况都是一样的，污染程度与水体在水库中的位置无关。而实际上，污染物在水中达到分布均匀是有一个迁移过程，符合污染物一维迁移方程，但在这样一个突发事件要求短时间内得到控制的问题中，我们总可以
5、用污染物瞬时混合均匀状态模型来代替污染物一维迁移的过程。在解答问题一时，我们只要考虑在事故发生到关闭水库的两个小时内，流出水库的污染物的质量小于吨即可。问题二中提到的情况只是将干流的污染源从一个增加到两个，那么发生大面积污染的可能性就要增大。由于两个水库之间没有联系，我们只需要单独考虑2库的排污情况，然后加上1水库的污染物排放情况，最后综合考虑两个水库所排污染物的总量对干流的影响就可以了。问题三中建立人工水渠就是在问题二的基础上使水库1和水库2发生联系。由于水都是从高水位流向低水位，因此，我们只需考虑从1水库向2水库的流入情况，而不必考虑从2水库向1水库的流入情况。 分析问题四，干流已经发生大
6、面积污染，对比水体污染物处理的各种手段，不论是化学、物理还是生物手段都不可能在短时间内除去污染物，因此我们只能通过稀释原理，建立污染物在干流中迁移迁移模型，使干流水体计算体积元内该污染物的增量为负值时，从而使得在干流水体污染物的浓度低于危险警戒值时的浓度，才能在短时间内达到控制污染。三、问题的基本假设1事故发生时，化学物质在短时间内全部泄漏至水库中，不考虑泄漏的速度和时间2水库水流平稳，水流为匀速，当水库关闭水闸时，由于需要1小时的时间，闸门是缓慢关闭的，对水流的影响不大，水流速度不变3不具挥发性的化学物质全部溶解在河水中，不考虑重金属或不溶性物质出现沉淀的情况4具有挥发性的化学物质溶解在河水
7、中，其挥发情况是均匀、恒定的，即在两小时的时间内，其挥发速率恒定不变四：符号约定（1）：t时刻水库水的流入速度；（2）：t时刻流入水库的污染物的浓度；（3）：t时刻水库水的流出的速度；（4）：t时刻流出水库的污染物的浓度；（5）：t时刻水库中污染物的浓度；（6）：t时刻水库水的体积；（7）：计算体积元内该污染物的增量；（8） ： 为时间；（9） ： 为从水库中流出的水中的污染物的浓度；（10） ：为水库的流出速度，即流量；（11）：为泄洪闸处到污染处的距离；（12） Q：为水库的流量；（13） q：为排入河流的污水的流量；（14）：为河流中污染物的本底浓度；（15）:为水库中的污染物的浓度；
8、五、模型的建立与求解由问题的分析中知道，流入水库的污染物能以很快的速度与水库中的水均匀混合，也就是说水库中的污染状况在任何局部水体都是一样的，污染程度与水体在水库中的位置无关，因此我们可以建立下面模型。模型一问题一：此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性；根据物质平衡原理和题目假设可知：水库1中污染物的改变量 = 流入的污染物的量 流出污染物的量于是对于充分小的，在时间（t，t+）内有：两边同除，并使0得： （1）现假设f(t)=p(t)v(t)得：即原式可以写为： （2）在水库1中发生撞船事故后，污染物处于非稳定排放即：，而由于水库闸门的关闭也势必会引起水库中水的体积变化，故：。现不考虑
9、流入水库中的水所含有与泄漏污染物相同物质的情况而带来的影响，即可看作，另外由问题分析中知道：流出的污染物的浓度应与水库中污染物浓度相同，即这样对于问题一我们可以得到求解公式： （3）进一步我们假设从水库中流出的水的流量初始值（从t=0时算起）为，在关闭闸门的过程中，我们假定流量处于线性变化的趋势。这一假设是基于流量与过流面积为线性关系上作出的，进一步可得： （4）从上面可看出为分数函数，这主要是因为水库闸门关闭是在事故发生一小时后作出的。现在有了的变化的表达式，为了能求出的表达式。我们还要写出的表达式。首先我们假设水库的体积的初始值为（t=0时），值我们可以通过卫星定位系统及所建立的模型求出（
10、具体卫星定位系统模型见附表）。而跟相关的还有的值。我们假设为一定值，则随随时间变化的关系式为： 由于为分段函数可知：也响应的为分段函数，具体函数表达式为： （5）把（4）式代入（3）式可以得到：当秒时： （6）当秒时： （7）对（5）式化简有： （8）通过推导的出： （9）有已知条件可知：，故经简化后： 时 （10）对（7）简化后得；（11）设，(r1-2r0)=b，得：当 （12）设：最后得到： （13）保持连续性，当t=3600时，=，此时可得到相应的值，但由于不确定因素很多，故确定不是很容易，这主要是缺少数据造成的。当时得到（14）式 （14）同样为保持连续性，要求当t=3600时，=。
11、最后： （15）那么时间内流出水库的污染物的量便可表示为： （16）在（s）时流出的污染物的量为： （17）在（s）流出的量为： （18）流出的总量： （19）再用Q与2/3q进行比较，便得出是否会发生大面积污染。问题二：如果在另外的一水库中有一化工厂均在晚上9：00-12：00违规进行周期性排放同样含有该化学物质的废料。讨论由于此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性。由题目分析中知道，水库2中有一化工厂违规排放含有该污染物的废料，而由于两个水库之间没有联系，故我们只需要单独考虑水库2的排污量，然后加上水库1的污染物排放量，最后综合考虑两个水库所排污染物的总量对干流的影响就可以了。下面我们
12、将在水库1模型的基础上建立2水库的模型。 （20）设（常数），即在9：0012：00这段时间内污染物以一个恒定值流入水库，考虑水库水的流入速度为一定值，流出速度也为一个定值这样水库体积的表达式可写成如下的公式： （21）代入上面的表达式可简化为： （22） 用上式可求出，其中可通过求得。那么从9：0012：00这三个小时内流出闸门的污染物的总量就可以求出来，污染物的量为： （23） （24）（为三小时内从1水库和2水库流出的污染物总量）若则发生大面积污染；若则不会发生大面积污染；问题三：如果两个水库间有一条人工修建的水渠相连接，水渠中的水流流向不定，但保证两水库之间的水流能够相互影响。那么问题
13、二结果是否会改变？由题目分析可知，当两水库之间有一人工修建的水渠相互连通时，水渠中的水流必然是从高水位流向低水位，为了使模型简化，我们有以下说明：1、由于两水库是连通的，因此在水库1关闸前，两水库的液面必然是趋近于等高的，否则必然有水从一个水库流向另一个水库。2、在事故发生后一个小时内，考虑两水库的规模相当，且水库1没有关闭泄洪闸，此时两水库彼此不受影响。3、在事故发生一个小时后，考虑到水库1要关闭泄洪闸，这势必引起水库1的水位上升，由说明1可知水库1中的水必将通过水渠流向水库2。从上面的分析可知，在有连通水渠的情况下，我们只需考虑从1水库向2水库的流入情况，而不必考虑从2水库向1水库的流入情况。下面我们就该问题给出进一步分析。在第一个小时内：（即9：0010：00）此时，水库1中还未发生事故，只有水库2中在排放废料，用问题2的模型我们可求出流出的污染物的量为：
