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1、- 1 - x y y0 11 24 y0 5 24 O （第 7 题） 江苏省南通基地江苏省南通基地 20182018 年高考数学密卷（年高考数学密卷（4 4）理）理 第第卷（必做题，共卷（必做题，共 160160 分）分） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分 1设复数满足（为虚数单位） ，则复数 2已知集合， ，则共有 个子集 3根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 4在某频率分布直方图中，从左往右有 10 个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余 9 个小矩形的面积和的，且第一组 数据的频数为 25，则样本
2、容量为 5在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为 ，则双曲线的方程为 6函数的定义域为 7若函数的部分图象如图所示， 则的值为 8现有 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片，它们的大小和颜色完全相同从中随机抽取 2 张组成两 位数，则该两位数为奇数的概率为 9在三棱锥中， ，分别为，的中点，记三棱锥的体积为， 三棱锥的体积为，则 10设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 11已知数列中， ， ， 若是等比数列，则 12已知， ，若，则的最小值为 13在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直 线距离的 最
3、大值为 14已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分分 15已知向量， ，函数 （1）求函数的最小正周期； （2）若，且，求的值 16如图，在四棱锥中，底面为梯形， 交 - 2 - 于，锐角所在平面底面， ，点在侧棱上，且 （1）求证：平面； （2）求证： 17如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形其中为圆的直 径，,在圆上， ， ,在上，且 , （1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式； （2）多边形面积的最大值 18在平面直角坐标系xOy中，已知分别为椭圆（）
4、的左、右 焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且 若，求直线的斜率 (第 16 题图) P AB CD Q O - 3 - 19已知函数，其中，e 是自然对数的底数 （1）若，求函数的单调增区间； （2）若函数为上的单调增函数，求的值； （3）当时，函数有两个不同的零点，求证： 20已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合 记为 （1）若数列通项公式为，求证：； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围； （3）设，数列的各项均为正数，且问数列中是否存在 无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不
5、存在，说明理由 20182018 年高考模拟试卷（年高考模拟试卷（4 4） 数学数学(附加题附加题) ) 2121 【选做题选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答 A A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，AB为O的直径，D为O上一点，过D作O的切线交AB的延长线于点C 若DA = DC， 求证：AB = 2BC - 4 - B B选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量 （1）求矩阵的另一个特征值； （2）求矩阵
6、的逆矩阵 C C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数以原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 求直线被曲线所截得的弦长 D D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求的最小值 【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分请在答卷纸指定区域内请在答卷纸指定区域内作答作答 2222 （本小题满分 10 分） 某小组共 10 人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1
7、，2，3 的人数分别 为 3，3，4现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会 - 5 - （1）记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件，求事件发生的概率； （2）设为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学 期望 2323 （本小题满分 10 分） 在各项均不相同的数列， ，中，任取,且项变动位 置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为 （1）求的值； （2）求的值； （3）设，求证： 2018 年高考模拟试卷（4）参考答案 数学 一、填空题： 1 【解析】 2 【解析】由条件得，所以的子集有个 3 【解析】由
8、题意可知 4150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为 5 【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以， - 6 - 所以双曲线的方程为 6 【解析】由已知得， ，所以 74【解析】由图知函数的周期为，所以 8 【解析】从张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个 数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为 9 【解析】因为， ， 所以 10 【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以 113049 【解析】 ，所以 ，所以 12 【解析】因为， ， ，所以 令， ，
9、 ， 则， 所以，当且仅当时取等号 所以的最小值为 13 【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得， ，所以，即点在圆，所以点 到直线距离的最大值为 14 【解析】 ，题意即为在上恒成立，即由于，且，则 当时，恒成立，符合； 当时， ，所以在上单调递增，不符合； 当时， ，所以在上单调递减， 此时， 即 令（） ，不等式即为， 由于，所以在上单调递增， 而当时， ，所以恒成立 综上所述，的取值范围是 15解：（1） ， ， 2 分 ， 4 分 所以函数的最小正周期为 6 分 （2） ， ，且， - 7 - ， 8 分 ， ， 10 分 ， 12 分 ， 14 分 16
10、证明：（1）如图，连接， 因为， 所， 2 分 又， 所以， 4 分 又平面， 平面， 所以平面. 6 分 （2）在平面内过作于， 因为侧面底面，平面平面， 平面，所以平面， 8 分 又平面，所以， 10 分 因为是锐角三角形，所以与不重合， 即和是平面内的两条相交直线， 又，所以平面， 12 分 又平面，所以 14 分 17解：连接， ， ， ， ， ， 2 分 （1）在中， ， ， ， ， ， 4 分 ， 8 分 - 8 - （2）令， ， 则，且， 10 分 ， ， 12 分 当，即时， ， 即多边形面积的最大值为平方米 14 分 18解：（1）因为椭圆经过点和点， 所以 2 分 解得，
11、 所以椭圆的方程为 6 分 （2）解法一：由（1）可得， 设直线的斜率为，则直线的方程为 由方程组 消去，整理得， 解得或，所以点坐标为 8 分 由知，点在的中垂线上， 又在直线上，所以点坐标为 10 分 所以， 若，则 14 分 解得，所以，即直线的斜率 16 分 解法二：由（1）可得， 设（） ，则 ， 8 分 直线， 由知，点在的中垂线上， 又在直线上，所以点坐标为 10 分 所以， ， 若，则， 所以 ， 12 分 由可得，即， 所以或(舍)， 所以，即直线的斜率 16 分 19解：（1）当a=0 时， ， ， 令，得，所以的单调增区间为 3 分 （2） ，因为函数为上的单调增函数，
12、- 9 - 所以 0 在上恒成立 5 分 当时， ，0 显然成立； 当时，恒成立，则恒成立，此时； 当时，恒成立，则恒成立，此时 综上， 8 分 （3）不妨设，当时， ， 函数在上单调递减，在上单调递增 因为，所以， ， ， 10 分 在上单调递减，所以要证，即证， 即证，又因为，所以即证（*） 12 分 记， ， ，所以在上恒成立， 所以函数在上为增函数， 又因为， ，所以， 即， （*）式得证所以，命题成立 16 分 20解:（1）因为，所以， 2 分 所以， 所以，即 4 分 （2）设的公差为， 因为，所以（*） ， 特别的当时， ，即， 6 分 由（*）得， 整理得， 因为上述不等式对
13、一切恒成立，所以必有，解得， 又，所以， 8 分 于是，即， 所以，即， 所以， 因此的取值范围是 10 分 （3）由得，所以，即， 所以，从而有， - 10 - 又，所以，即， 又， ， 所以有，所以， 12 分 假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列， 不妨设该等差数列的第项为(为常数)， 则存在， ，使得， 即， 14 分 设， 则，即， 于是当时， ， 从而有：当时，即， 于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立， 因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列 16 分 数学（附加题） 2121A A证明：证明：连接 OD 因为 DC 为切线且点 D 为切点，所以 因为 OA=OD 所以 又因为 AD=DC 所以 故 所以 BC=OD=R 从而 AB=2BC 10 分 B B解：（1）由条件得， ， ，解得 2 分 因为矩阵， 所以特征多项式为 ， 4 分 令，解得 - 11 - 所以矩阵的另一个特征值为 5 分 （2）因为， 7 分 所以 10 分 C C解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为： ，即， 2 分 曲线表示的是圆心，半径为的圆 4 分 直线的参数方程为参数化为普通方程 为，
