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1、二项式系数的性质,杨辉三角,九章算术,杨辉,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 详解九章算法一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似右面的表:,这个公式表示的定理叫做_,公式右边的多项式叫做(a+b)n的 ,其中 (r=0,1,2,n)叫做 , 叫做二项展开式的通项,用Tr+1 表示,该项是指展开式的第 项,展开式共有 个项.,二项展开式,二项式系数,r+1,n+1,二项式定理,前课复习,(r=0,1,2,n),二项式定理,练习:求(1+2x)7的展开式的第3项的系数; 与第3项的二项式系数;,84,21,(a+b)1,(a+b)3
2、,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,(a+b)6,观察并找出规律,二项式系数的性质,二项式系数的函数观点,展开式的二项式系数依次是:,从函数角度看, 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是:,当n=6时,其图象是7个孤立点,定义域0,1,2, ,n,(1)对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴:,二项式系数的性质,2、若(a+b)n的展开式中,第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等,练一练,1、在(ab)展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是(
3、),A 第项 B 第项 C 第项 D 第项,则n=_,B,6,问题:一般地,当r满足什么范围时,后一项Cnr比前一项Cnr-1要大?,分析:以上问题即为:当CnrCnr-1时,求r的范围?,(2)增减性与最大值,由于:,所以 相对于 的增减情况由 决定,当 时二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.那么,如何确定中间项呢?,二项式系数的性质,20,10,30,35,O,n,n为奇数,n为偶数,二项式系数的性质,(2) 增减性与最大值。,1.在(1+x)10的展开式中,二项式系数最大为 ; 在(1-x)11的展开式中,二项式系数最大为 .,练一练,2.指出(a
4、+2b)15的展开式中哪些项的二项式系数最大,并求出其最大的二项式系数,(3)各二项式系数的和,在二项式定理中,令 ,则:,这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于:,同时由于 ,上式还可以写成:,这是组合总数公式,赋值法,二项式系数的性质,例1、求 的展开式中二项式系数最大的项.,解:已知二项式幂指数是偶数8,展开式共有9项,依二项式系数性质,中间一项的二项式系数最大,所以要求的系数最大项为第5项,即:,例2、证明:在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证:,n-1,证明(a+b)nCn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ + Cnran-
5、rbr+Cnnbn,令a=1,b=-1得,特例法 赋值法,例3、已知 展开式中的第5项、第6项、第7项系数成等差数列,求展开式中: 二项式系数最大的项; 各项系数和.,由已知条件得:n=14,最大项为第8项,令x=1,可得各项系数和,变式:求 的展开式中: 二项式系数最大的项;各项系数和.,例4、如果 求:,可分别令x=0,1,-1,随堂练习,若它的二项式系数和为64,试求含 的项,3、已知,2、若, 的系数比是 ,求它的常数项,求,1、对于 二项式系数最大的项各项系数和,(1)二项式系数的三个性质:,(2)数学思想:函数思想,二项式系数之和:,最大值:,(3)数学方法:赋值法、递推法,当 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的.,当n是偶数时,中间的一项 取得最大时;,当n是奇数时,中间的两项 , 相等,且同时取得最大值.,增减性:,课堂小结,作业布置,华罗庚 天才在于积累。 聪明在于勤奋,,学案:P102 课后巩固与提高拓展 课本P199 A 习题及P201 复习题,预习:P206随机事件与样本空间;,课堂作业:课本P199 A组T3,T5,T9,谢谢!祝大家 开心,进步!,