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1、1 大题精做大题精做 8 8 立体几何：动点与设未知量立体几何：动点与设未知量 20192019遵义航天中学遵义航天中学 如图，在四棱锥中，底面是边长为 2 的菱形， ，为正三角形，且侧面底面，为线段的 中点，在线段上 （1）当是线段的中点时，求证：平面； （2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案答案】 （1）见解析；（2）存在 【解析解析】 （1）证明：连接交于点，连接， 四边形是菱形，点为的中点， 又为的中点， 又平面，平面，平面 （2）是菱形， ，是的中点， 又平面， 以为原点，分别以， ，为， ，轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ， 假设
2、棱上存在点，设点坐标为， ， 则， ， ， 设平面的法向量为， 则，解得 2 令，则，得 平面，平面的法向量， ， 二面角的大小为， ，即，解得，或（舍去） 在棱上存在点，当时，二面角的大小为 120192019跃华中学跃华中学 如图所示，正四棱椎中，底面的边长为 2，侧棱长为 （1）若点为上的点，且平面，试确定点的位置； （2）在（1）的条件下，点为线段上的一点且，若平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值 3 220192019湖北联考湖北联考 如图，在四棱锥中， ， ， ，且 ， （1）证明：平面； （2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请
3、说明理由 4 5 320192019西城西城 4444 中中 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，侧面底面， ， ， ，分别为，的中点，点在线段 上 （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面； （3）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值 6 1 【答案答案】 （1）为中点；（2） 【解析解析】 （1）设交于点，连结， 平面，平面平面， 又为的中点，在中，为中点 （2）连结，由题意得平面，且， 以为原点， 、 、所成直线为， ，轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， ， 设平面的法向量， 7 则，令，得平面的一个法向量， 设平面的法向量， 由
4、，得， ， ，令，得， 平面和平面所成的锐二面角的余弦值为， ，解得 2 【答案答案】 （1）见证明；（2）见解析 【解析解析】 （1）在底面中， ， ，且， ， ， 又， ，平面，平面，平面， 又平面， ， ， 又， ，平面，平面， 平面 （2）方法一：在线段上取点，使，则， 又由（1）得平面，平面， 又平面，作于， 又，平面，平面，平面， 又平面， 又，是二面角的一个平面角， 设，则， ， 8 这样，二面角的大小为， 即， 即，满足要求的点存在，且 方法二：取的中点，则、 、三条直线两两垂直 可以分别以直线、 、为、 、轴建立空间直角坐标系， 且由（1）知是平面的一个法向量， 设，则， ，
5、 ， ， 设是平面的一个法向量，则， ， 令，则，它背向二面角， 又平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为， 即， 即，满足要求的点存在，且 3 【答案答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析解析】 （1）证明：在平行四边形中， ， ， ， ，分别为，的中点， 侧面底面，且，底面， 又，平面，平面，平面 （2）证明：为的中点，为的中点， 9 又平面，平面，平面， 同理，得平面， 又，平面，平面，平面平面， 又平面，平面 （3）解：底面， ， ，两两垂直， 故以， ，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 易得平面的法向量， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， ，即， ，解得或（舍去） ， 故
