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1、高二期中考试数学试卷试卷满分:160分 考试时间:120分钟 一.填空题（每题5分，共70分）1.设复数（为虚数单位），则复数的模为 .2若集合A=1，0，1，B=x|0x2，则AB=3某中学共有学生1800人，其中高一年级600人，高二年级550人，高三年级650人，现采用分层抽样的方法，抽取180人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 .4某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在40，60元的学生人数为 5执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为 .6将
2、一质地均匀的正四面体玩具(四个面分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷两次，观察向下一面的数字,则两次向下数字不同的概率为 .7已知一个边长为2的正六边形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正六边形内的概率为 . 8.“”是“”成立的 条件(用“充分不必要”或“必要不充分条件”或 “充要条件”或“既不充分也不必要条件”之一填写)9执行如图所示的程序框图，输出的值为 .10.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下个数的方差为 .11.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数= .12.已知定义在R上的函数,若 ,则实数取值范围为 .13.已知函数，当时，的
3、取值范围为，则实数m的取值范围是 .14.已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上异于顶点的一点，在上，且满足，为坐标原点.则椭圆离心率的取值范围.二解答题（共六大题，满分90分）15.(本题满分14分)某老师从参加高二年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第二组的小矩形内的概率（不计墨点大小）；（3）若80分及以上为优秀，估计从高二年级优秀的学生中抽取一位学生分数不低于90分的概率16. (本题满分14
4、分)已知，用数学归纳法证明能被8整除17. (本题满分14分)已知函数, (1)当时，求关于的不等式的解集;(2) 试解关于的不等式:.18. （本题满分16分） 已知椭圆：的右焦点为，过作直线（不过原点）交椭圆于两点，若的中点为，直线交椭圆的右准线于（1）若直线垂直轴时，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的离心率，当直线斜率存在时设为，直线的斜率设为，试求的值。（第18 题图）19.（本题满分16分）南京市溧水区计划在无想山建一个竖直长度为20米的人工瀑布,同时在瀑布正前方修建一座观光电梯。如图所示，瀑布底部距离水平地面的高度为60米，电梯上设有一个安全拍照口，上升的最大高度为60米。设距离水平地
5、面的高度为米，处拍瀑布的视角为。摄影爱好者发现，要使照片清晰，视角不能小于。（1）当米时，视角恰好为，求电梯和山脚的水平距离。（2）要使电梯拍照口的高度在米及以上时，拍出的照片均清晰，试求出电梯和山脚的水平距离的取值范围。20. （本题满分16分）已知函数,令，其中是函数的导函数.()当时，求的极值；()当时，若存在,使得:恒成立，求实数的取值范围.参考答案高二期中数学 (理)一：填空（70分）1 2. 3 . 55 4 . 3305 . 6 . 7. 8. 充分不必要9 . 10. 14 11. 12. 13. 14. 二：解答题15解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：， 2分
6、直方图如右所示； 4分（2）记 “墨点恰好落在第二组的小矩形内”为事件A，洒墨点是随机的，所以认为落入每个矩形内的机会是均等的，于是事件A的概率等于第二个矩形面积与所有矩形的面积之比，即故墨点恰好落在第二组的小矩形内的概率为0.15； 9分（3）由图可得，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和为，所以其中优秀的学生有人，而不低于90分所在的为第六组，频率，则不低于90分的学生有人，在优秀的学生中抽取一位学生是等可能的，有18种可能，记“优秀的18学生中抽取一位学生分数不低于90分”为事件B，则事件B包含其中的3个基本事件，所以事件B的概率为， 13分利用抽样学生的成绩，故可估计从高二年级优秀
7、的学生中抽取一位学生分数不低于90分的概率为 14分16.证明.(1)当n1时，显然能被8整除； 2分(2)假设nk(时，能被8整除，3分则当时，有:因为均为奇数，它们的和必为偶数，所以能被8整除，又由假设知能被8整除，所以能被8整除，所以当时命题也成立.综上（1）（2）可知，能被8整除. 14分17.解:(1)时,即:令得:或 2分或 5分的解集为:6分(2)8分()当时:() 当时:() 当时: 14分(每种情况2分)18解：（1），4分由得：6分（2）得联立得：8分，9分11分直线方程为：13分所以，即16分（其它解法参照给分）19.解：（1）设，过作，垂足为。，,2分4分解得：6分解法二：用余弦定理求解给分。（2），8分由题知在上恒成立10分在上恒成立12分解得15分答：CD的取值范围16分解法二：利用P点轨迹方程是圆的一部分给分20.()函数定义域为：（当时， (2分)令解得；当时，当时，所以的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+)（4分）所以时取得极小值，无极大值.（6分）()当即时，恒有成立，所以在1,3上是单调递减. 所以所以，（9分）因为存在,使得恒成立，所以整理得又0，所以（12分）令=，则(2,8)，构造函数,所以，当时，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，所以m的取值范围为(,+). （16分）- 12 -
