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1、范例：以新课标教材人民教育出版社A版(2004年)必修2131 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2过程与方法 (1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。 (2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。 (3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动
2、用化归思想。) 3情感、态度与价值观 (1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。 (2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。) 二、学情分析 学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。 三、教材分析 1本节的作用和地位 本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法化归，因此本节
3、内容十分重要。 2本节主要内容 该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。 3重点、难点分析 在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是
4、比较大的。 因此确定本课时的教学重点、难点是： 教学重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力。 教学难点：台体的表面积与体积公式推导，以及“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想在推导公式过程中的渗透与应用。 4课时要求：2课时 四、教学理念 课程标准强调学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此教学中要“以人为本”，积极引导学生参与到知识获得的过程中，让学生获得分析问题、解决问题的能力。 五、教学策略 课程标准的要求是：了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式)。而且，新课程的编排体系
5、是从整体到部分，从宏观到微观，也即在本课时学习之前学生对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知，所以，在本课时学习过程中最好通过直观感知、合情推理的方式展开教学。 六、教学环境 本课时涉及的内容比较多，而且其中很多都是再现性的，因此必须借助适当的信息技术手段提前将需要再现的图形准备好，提高课堂教学的效率。提前制作一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，上课后供学生操作使用。 七、教学过程 引言：通过学习空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图，我们了解了空间几何体与平面图形之间的关系。从中反映出一个思想方法，即平面图形与空间几何体的互化，尤其是空间几何体问题向平面问题的转化，这种化归的思想
6、方法将贯穿立体几何的研究过程，是一个重要的思想方法，在今后的学习中大家应该重视这一思想方法的应用。 (设计意图：挖掘旧知识中蕴涵的数学思想方法，使得隐性知识显性化，在本课时的学习中发挥先行组织者的作用。) 本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积与体积。空间几何体的表面积是几何体表面的面积，即几何体各个面的面积的和。空间几何体的体积是几何体所占空间的大小。问题1 （1）试着完成下表1中你会的部分。 (2)比较表11和表12中空间几何体的侧面积与表面积你完成的部分，是否蕴涵着上述化归思想，并请具体给出阐释。 (设计意图：通过完成(1)达到帮助学生复习扫清学习障碍、同时了解学生基础的目的。通过完成(
7、2)进一步明确化归思想方法，为后继解决问题提供思路。)活动方式：学生独立完成之后教师利用展台展示学生完成的情况，讲评纠错。表1-1部分平面图形的面积 表1-2部分空间几何体的表面积与体积 预设的结果：学生可以完成表12中正方体、长方体的表面积和体积，圆柱、圆锥的侧面积、表面积和体积。 在教师的引导下，学生进一步明确其中蕴涵的空间几何体问题可以转化为平面几何问题求解的化归思想方法，运用这种方法时，第一步是要得到空间几何体的展开图；第二步是依次求出各个平面图形的面积；第三步将各平面图形的面积相加即可。 实际情况：学生在写圆锥的侧面积时因为对扇形面积公式中字母含义认知不清，所以出现错误。于是对比表1
8、l进一步解决了利用弧长和半径表示的扇形的面积公式，之后又利用扇形面积公式求得圆锥的侧面积。 在基础比较差的班级上课时，学生只能写出正方体和长方体的表面积和体积。学生计算正方体、长方体的表面积时由于熟悉并没有展开，而是直接计算求解，但是在回答问题“是否蕴涵有上述化归思想?”时学生还是能很清楚地解释的。备用图 图21 正方体及其展开图 图22 长方体及其展开图 图23 圆柱体及其展开图 图24 圆锥及其展开图问题2 (1)类比上述求法，利，用化归的数学思想方法，完成练习1和练习2；机动练习1 如图25，已知三棱锥SABC的棱长为，各面均为等边三角形，求它的表面积。 图25 图26 机动练习2 如图
9、26，四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别是8 cm和14 cm，侧棱长都是5 cm，求它的侧面积。 (2)思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?之后在表22中写出求这几类空间几何体的表面积的思路。 (设计意图：巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间， 同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础。) 活动方式：学生独立完成，展示交流点评。 预设的结果：先完成练习1和练习2，之后抽象得出一般解法。 实际的情况：学生在解决问题时，思路比较顺畅，几乎不存在问题，但是实际计算时出现了问题，表现在计算正三角形的面积
10、时出错：， 于是求得最后结果，还有学生的计算结果是；计算梯形的面积时出现的错误是：错认为5是梯形的高。在练习2中只要求计算梯形的侧面积，但是有学生并没有认真审题，仍然计算全面积。回答如何计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积时学生的思路都没有问题。问题3 类比上述方法，求圆台的侧面积和表面积，数据如图27所示。 图27 圆台体及其侧面展开图 (设计意图：巩固已有方法，解决新问题。) 活动方式：学生独立完成，展示讨论，形成正确的解题步骤。 预设的答案：(略) 实际的情况：学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题，表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设，使得计算复杂；第二是根据三
11、角形相似列式时出错，比如有学生列出的比例式是等。 针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误。 问题4 将正方体、长方体的体积公式分别改写为：，其中；，其中。据此猜想棱柱的体积公式是什么? (设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。) 预设的答案：，其中表示棱柱的高。 实际的情况：比较顺利地完成。 问题5 根据圆锥体积与圆柱体积的关系，猜想棱柱的体积公式是什么? (设计意图：根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯。) 预设的回答：，其中表示棱锥的高。实际的情况：比较顺利地完成。 问题6 我们知道
12、等底同高的三角形的面积相等，类比这个结论针对三棱锥你能得到什么猜想? (设计意图：培养学生根据空间图形与平面图形的关系将平面几何中的结论在空间进行推广的意识和能力，为完成下面的任务做准备。) 活动方式：学生独立思考，完成猜想，必要时教师予以帮助。 预设的答案：如果两个三棱锥的底面积相等，高也相等，那么这两个三棱锥的体积相等。实际的情况：在学生基础较好的班完成得比较顺利，在基础较差的班完成得比较困难，学生不能将平面几何中的三角形、面积与空间中的三棱锥、体积联系起来。问题7 你能利用上述猜想解释吗? 图28 (设计意图：虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生
13、的理性思维习惯。) 预设的活动方式：展示操作，由老师利用模型或图428进行解释。 实际情况：都是学生完成的。(在学生基础较差的班级实际教学时没有进行到这里。) 学生不善于改变方向换角度看问题。学生在解释图28中三棱锥1与2的体积相等选择的底面是，顶点是点和点。这样的选择能直接解释底面积相等，但是就目前的几何知识还解释不了高相等，虽然学生解释了如何做高。又有学生解释时选择的底面分别是和，顶点是C。这个选择比较容易理解，但是还不够直观，也许是因为手头没有模具的原因，后来在老师的提示下将两个三棱锥“扳倒”，使得和所在的面着地，那么顶点重合高相当，而不需要从顶点到底面做高，既直观又避开了没有学过的知识
14、。问题8 类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗? 如何求?如图29，设圆台的上、下底面积分别为和，高为，试求其体积。 图29 预设的答案：转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解。 活动方式：学生独立思考完成。 预备的解决过程(以圆台为例)：如图29，设，上、下底面的半径分别为，和，圆台的上、下底面积分别为和。因为 所以所以 实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成。 机动练习3 看图填空 机动练习4 四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别为3 cm和5 cm，高是6 cm，求此棱台的体积。 图210(设计意图：检验教学效果。)实际情况：在课堂上没有做这两个练习。 问题9 结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征，再观察它们的表面积公式、体积公式，
