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1、辽宁师范 大学学报 (自然科学版) 1 9 9 0年第i 期 JO URN A L O FLIAONIN GNO RMALU NIVERSITY N atu r a l S eienee Editio n地1 1 9 9 0 穷竭 法 的历史及有关问题初探 邵明湖 (数 学系) 研究了穷竭法的历史 , 探讨了它与极限 、 积分等概念的关系 , 认为穷竭法 是一种基于潜无穷观的严格的数学证明方法 , 是柯西极限理论的真正肇始 ; 它 可以视为一 种极简单的积分 , 其思想早已渗透到了分析学 中 。 关键词 : 穷竭法 、 无穷 、 极限 、 积分 。 研究主要数学方法 的发展过程是数学史的主要
2、任务之一 , 这种研究将有助于我们了 解数学知 识增长的规律 。 穷竭法(th e m etho do f ex ha u st i o n )是古希腊数学的几个重大 成 就之一 。 它不仅使希腊数学家的一 些工作建立在严格证明的基础上 , 而且它一开始便 与数学的核心概念 一 无穷有着密切联 系 。 19世 纪柯西将分析学建立在严格的 基础上 , 其工作的基本概念极限的思 想萌芽便包含于穷竭法中; 而它的对几何图形分割求和 的形式 既是积分的雏形 , 其思想便是积分的直接源泉试图完善 、 发展它的种种努力 导致了积分学的诞生和成长 。 本文拟就其历史及有关问题做一探讨 。 1 穷竭法是严格的
3、证明方法 穷竭法的严格性即 使在今天看来也是无可挑剔的 。 这对希腊数学家来说尤为可贵 。 事实上 , 严格正是希腊几何学的精神 。 穷竭法所完成的证明 一般可分为两个步骤 : 首先是一个可称之为 “穷竭” 的逼 近程 序 , 然后用 a 双重归谬法 ” (do uble re du etioadabsurdum )完成证明 。 作为例子 , 我 们 来看一个简单命题的证明 。 命题 两圆(面 积)之比等于 它们直径的平方之比川 。 其证明过程 可如下叙述 : 在圆内作内接正方形(正方形大于 圆 的一半是显然的) , 然 后将正方形边数加倍得正八边形(如 图)由于ABC是口ABDE之一半 ,
4、ABC大于 弓形ABC的 一半 , 所以四个弓形上的三角形之和大于四个弓形的一半 , 即正八边形不仅 包含 正方形 , 而且包含了圆与正方形面积 之差 的一半以上 。 照此又可将正八边形边数加 本文于198 8年9月1 5日收到 。 亦译 “穷举法” , 文中不是此意 。 该词最早出现于圣文森特的格雷戈里(Gr e go if e d e Sa in tVin ce nt ) 16 4了年的一本著作中 。 ( ( ( ( ( B B B 人人人人 倍得正十六边形 , 它 不仅包含了正八边形 , 而且还包含 了圆 与正八边形之差 的 一半以上 。 继续这一程序 , 由欧 几 里得几何原本第X篇的
5、命题 1 (参见本文第四节) , 就可以将圆 和某一边数足够多的正多边形之差弄得比任 何给定的量还小 。 下面 的证明用到双重归谬法 。 设 : 、 s , 是两圆(面积) , d 、 d 分别为其 直径 。 今欲 证 s:s/= 少 : d , 2 。 假若等式不成立 , 则根据几何原本 中一个关于第四比存在的公理 , 有 “使“,:“= 少 : d 2 , 其中 :“:产。 工 . 若s l , :产, 同样可得 出矛盾 , 即s l ,不大于s , 。 综上 I 、 五 , 必有s l 二s , 。 故命题得证 。 诚如我们从这一命题的证明中看到的 , 穷竭法所运用 的是逻辑的语 言 ,
6、 并没有提戴 “无限分割” 之类的容易模糊的概念(只要我们一想到芝诺的有名的悖论便可体会到这 一方法在当时是多么高明 、 可贵) 。 它在直观 上是清晰的 , 逻辑 上是严 密的 。 因而人们 惊叹于它的严密可靠是不足为怪的 。 数学史家克莱因说 : “欧几里得在面积 和体积方面 的工作(按指应用穷竭法) 比牛顿 、 莱布尼兹这方面的工作要严密可靠 。 ” 【 2 1 然而欧几里得并不是穷竭法的创始人 。 使穷竭法成为严格证明方法并最早用于数学 证明的 是希腊数学家欧多克索斯(Eu do xu s , 约生活于37 0 B . C . ) , 而溯其渊源则更为久 远 。 2 穷竭法溯源 有说布
7、里松(B ryson 或 B rys o, 450 B . C . 前后)曾用过 , 穷竭” 一词 t3, , 但没有确切 的证据 , 没有一部古代可靠的权威典籍曾将他的名字与该方法联 系起来 4 1 。 辛普利休斯 ( sim plieiu s, 公元 6世纪前半叶) 曾描述过智人学派的安蒂丰(A ntipho n , 约430 B . C . ) 化圆为方的努力 , 说他在圆内作一内接正多边形 , 然后将边数加倍得另一正多边形 。 继 续此程序 , 则圆与正多边形之间的面积就越来越小 ,“ 当面积被穷竭时 , 他说他就 用这 种方法在圆内内接了一个正多边形 , 其边与圆弧相 合一致(因为他
8、们很小) ; 由于我们 可以作与任何正多边形相等的正方形 , , 因为多边形已经作得相合于 圆 , 我们将也 能得到一个与圆相等的正方形 ” ( S imph c iu s 语) 5 。 安蒂丰就这样认为自己解决了希腊 在此过程中 , 如果我们认为是将正多边形从圆上割去 , 那么 , 圆的剩余部分可以弄得任意地小 。 就是说圆似 乎被 “穷竭” 了 , 这就是穷竭法得名的缘由 。 但是严格地说 , 圆不可能被彻底穷竭而为零 , 因而 “穷蝎” 只 能视为一个过程 。 从这种意义上说 , 用 “穷竭法” 来命名该方法是不确切的 。 骨 已知 a、c、 d三量 , 则必存在第四量b , 满足 a
9、:b = c : d o 几何作图的三大问题之 一一一 化圆为方 。 当然 , 安蒂丰没有成功是明显的 , 可我们从 这 里得 到的信息却是模糊的 , 推测 他是 受了德漠克利特原子论学派 的影响 。 另外 , 所谓 “相 合一致 ” 是极为素朴的直觉观念 。 事实上 , 在 此过程中 , 多边形永远不能与圆相 合 。 无论如何 , 这种不断作内接正多边形的方 式 无疑 成为后来穷竭法的滥筋 。 现在一般 认为是欧多克索斯在前人 工作的基础 上创造了穷竭法 , 首次用 于数学证明 , 并取得了最 初 的成果 。 欧多克索斯被他的同时代人誉为神明似的 人 。 他的著作没有流传下来 , 所幸欧几里
10、 得将其成果收入了几何原本中 。 几何原本第双篇中的一些命题是属于欧多克索 斯的 。 欧多克索斯一扫安蒂丰对割圆的朴素模糊甚至是错 误的观念 , 而将穷竭法建立在 无限分割潜在可能性的基础 上 。 他并没有使用诸如 “无 限 ” 、 (圆与正多边形) “相 合 ” 之类的字眼 。 正由于此 , 有的数学史家认为 “穷竭法 避开 了 无 限这个陷井 ” 。 应该指 出 , 穷竭法所避用的只是实无 限罢了 , 这不仅因为当 时缺 少处理实无限 的手段 , 还由于 正如亚里 士多德在评述当时数学家的 观点时所说 : “事实上, 他们不需要无 限(按指实无 限) , 也不使用无限 。 他们只是假定有限
11、的 直 线能 随意延长 而已 。 因此 , 从证明的需要来说 , 只要有这种无 限(按指潜无限)也 就够了 。 ”:6 1 欧多克索斯的这种潜无穷观有其哲学渊 源 。 在希腊哲学中 , 潜无穷观念的 初次表白 是智人学派的安纳萨戈拉斯(An a xag o r as, 约49 9 B . C一4 27B . C . )作出的 。 安氏认为万 物都可以无限地分割 , 他以抽象的形式分析分割过程 , 而不管施行此过程的实际上的可 能性 , 将无限 分割看作是潜在地可能实现的过程 。 欧多克索斯正是吸收 了安氏思想的合 理内核 。 下面我们来考察一下几何原本中对穷竭法的运 用 。 3几何原本中的穷竭
12、法 ( (几何原本第姐篇的显著特点是在命题2 , 5 , 1 0 1 2 , 1 8 的证明中运用 了穷竭法 。 欧几里得在证明过程中并没有规定一致的程序 , 而是调 整他的技巧使之适合于每一个问 题 。 不过我们还是可以一般地描述一下他的证明 , 这样就可以方便我们后面的讨论 。 以上几个命题都可表示为下面形式 : (i) x, : 戈=夕, : g 在所有的 6种情形中 , 都是间接地假设( i)式不成立来进行归谬的 。 在命题2 , 5 , 11 , 12及1 8 中就断言x *存在 , 满足 (1 1) x,:x* = =夕, : , 且或(a )x * x 。 (x I I , 1
13、0除外) 证明关键是否定( i i ) 。 欧几里得把( b)化为( a) , 这样只要能否定( i ia )即可 。 这需要 为方便起见 , 我们采用I 。 Mu e ll e r 的记法 , 参 见文 73 。 构造扩 、 z , 使 (111) 之,:之= 刀, : 互 , (iv a ) 之, , l叮2 (A Z) 十: ) (x一 )/2 且 价 +, x , x /2 , x +, ( x 一x , 一x : 一 一 )/2 , 且 x;+, (劣一x , 一: 2 一 一 x 、) 。 依 上 , 即存在 ” , 使 x 一x l一xZ 一 一 x 。 。 令 , , = 名
14、x 、, 即存在 ” , 使x 一, ” 。 , , 递增 , 这无异于 Lm , , = 。 璐一卜加 是什么原因欧几里得没有将 x 定义为 。; 的极限呢?从穷竭法完成 的证明中 , 我们 看到双重归谬法的证明自然取代了极限的运用 , 而更深刻的原因乃是由于不可公度量的 阴影 。 正 由 于此 , 欧几里得采用 了欧多克索斯发明的比例论 。 在这里 , 单说 “面 积 ” 、 “体积” 对欧几 里得毫无意义; 只有两个几何图形 的比才有意义 , 才能进行证明 。 因而 在 几何原本中欲将 x 定义为 , 的极限有 着无 法克服的困难 。 此外 , 欧几里得在证明中构造出了序 列 , ; 使
15、之 收敛 于 x , 这与我们今天对极限问 题 的处理正好相反 。 在欧几里得那里 x 是以几何物预先存在的 , 而我们对极限存在与否 的考虑就利用到连续性的假设 , 这所导致的抽象系统的思考与欧氏是无缘的(事实上 , 柯西也 并 没有建立起严格的分析基础 , 因为极限所依赖的实数系统只有经 过外尔斯特拉 施 、 戴德金等人的工作才趋于完备) 。 另外 , 欧几 里得只是 依赖于几何直观 , 尽管他 的 处理方法显示了他的高明 , 但是 , 值得指出的是 , 正是从这里 产生了严格的极限方法的 萌芽 。 可以说 , 在对极限的处理方法上 , 在柯西 的前辈数学家中没有哪一个比欧几 里得 更接近
16、于柯西 。 1 7世纪数学家对无穷 、 极限等又采 取 了模糊的处理 , 这是算法倾向增长 的 结果 , 其分析研究往往建立在经验观察或不很审慎的 直观 基础 上 。 在1 8世纪 , 只要我们 看一看达朗贝尔在百科全书中给出的极限定义便可知道在这方 面并没有多大进步 8 l 。 只是 到 了柯西 , 才将极限概念严格化了一一这当 然是一种更高层次的严格 。 应当指出 , 在欧几里得之后 , 阿基米德创造性地应用了穷竭法 9 , 他不仅在应用 的 范围 上和证明的结果上大大拓宽了欧几 里得的局限 , 而且逼近的过程中也采用 了曲边形 和外接图形进行逼近 。 . 此外 , 欧几里得只考虑几何图形之比 , 而阿基米德则开始关心 几 何图形的具体面积和体积 , 从而寻求面积 、 体积的有用结果 。 但阿基米德还是没有定义 极限 , 这大概是因为双重归谬法的得心应手的运用 , 使得采用一种方法殊非易事 。 5 穷竭法与积分 如所周 知 , 将
