陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试理科数学试题（解析版）

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1、1 汉中市汉中市 20192019 届高三年级教学质量第二次检测考试届高三年级教学质量第二次检测考试 理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1.已知集合，若，则（ ） A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先解不等式，根据，确定集合 A，根据，就可以求出 【详解】 而，所以，因此集合 ，所以，因此本题选 C. 【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系。

2、 2.设复数（ 是虚数单位） ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数 的共轭复数 ，计算 ，根据结果写出虚部。 【详解】复数， 的虚部为，因此本题选 C。 【点睛】本题考查了复数的共轭复数、复数的四种运算、虚部的概念。 3.已知向量 、 的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求向量的模可以先求出模的平方，然后再开算术平方根。 2 【详解】 ， 因此本题选 A。 【点睛】本题考查了向量求模的方法。一般的方法有二种：一是平方进行转化；另一个是利用向量加减法的 几何意义进行求解。本题也可以利用第二种方法来求解。设

3、 则=利用余弦定理可以求出它的模。 4.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由可以求出，进而可以求出的值。运用两角差的正切公式可以求出的 值。 【详解】 所以， ，因此本题选 D。 【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系、两角差的正切公式。 5.函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 首先由函数解析式可知函数为奇函数，故排除 A,C，又当 时， ，在 上单调递增， ，故选 B 6.双曲线的离心率恰为它一条渐近线斜率的 2 倍，则离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意根据离心率公式，列出等

4、式，再由之间的关系，最后求出离心率。 【详解】由题意可知，即，而 得，因此本题选 A. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法。 7.函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图可知：图象过，这样可以利用周期公式可以求出 ，把代入解析式中，求出 ，最后求 出函数的单调增区间。 【详解】由图可知：图象过 , ； 图象过， 因为 ，所以， 当时，函数单调递增，化简得 ，因此本题选 D。 【点睛】本题考查了三角函数图象及性质。解决此类问题的关键是通过函数的图象找到“关键点” ，如最高 4 点、最低点、零点等。 8.九章算术是中国古代第

5、一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。 “更相减损术”便 出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。 ”其核心思想编译成如示框图，若输入的 ， 分别为 45，63，则输出的 为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 通过已知，可以判断这是在求两数的最大公约数。也可以按照循环结构的特点，先判断后执行，分别求出当 前的值，直到循环结束。 【详解】通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求 45，63 的最大公约数，63，45 的最大公约数是 9。也 可以按照循环结构来求解，如下表： 循环次数 ab 初

6、始 4563 第一次 4518 第二次 2718 第三次 918 第四次 99 第五次输出 a=9 因此本题选 D。 【点睛】本题考查了算法和程序框图、更相减损术。解决此类问题的关键就是按照程序框图的结构进行，得 5 出结论，当然对于一些经典的算法应该熟知，这样可以直接求解。 9.如图，在直三棱柱中，点 为的中点，则异面直线与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 取的中点，连结,这样求异面直线与所成的角就转化成求的大小。 【详解】取的中点，连结,在直三棱柱，点 为的中点, 且，且，所以就是异面直线与所成的角。 ，可以求出，在中，由勾股定理可求出，在中， 由

7、勾股定理可求出，显然是直角三角形，,所以，因此本题选 B。 【点睛】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角 的范围是。 10.汉中市 2019 年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等 6 名工作人员分配到两个不同的接待处负责参 与接待工作，每个接待处至少 2 人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ） A. 12 种B. 22 种C. 28 种D. 30 种 【答案】C 【解析】 【分析】 由题要将所有人分到两个不同的接待处 A,B,则甲可能在 A 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人， 甲可能在 B 组，组内分到其他四人

8、中的 1 人,2 人或 3 人，分别求出每一种分配的方法数目，有分类计数 原理计算可得答案。 6 【详解】由题可分两种情况讨论： 甲可能在 A 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人，则有种分法； 甲可能在 B 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人，则有种分法； 一共有种分法。 故选 C. 【点睛】本题考查分类计数原理，解题的关键是分类列出所有可能情况，属于一般题。 11.已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，交准线于点 ，若，则 等于（ ） A. 12B. 14C. 16D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】 分别过 A,B 作准线的垂线，利用

9、抛物线的定义把 A,B 两点到 F 点的距离转化为 A,B 两点到准线的距离，结合 已知可以求出和的长，最后求出。 【详解】抛物线，分别过 A,B 作准线的垂线，垂足为 M,N，如下图： 由抛物线的定义可知：,轴, 因为，所以有 ，解得= 。 所以。轴，所以, 所以 =16，因此本题选 C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，弦长的求法。 12.已知函数是定义在 上的奇函数，当时，给出下列命题： 当时， 函数有 3 个零点 的解集为 ，都有 7 其中正确命题的个数是（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 对于：根据奇函数的性质即可求解； 对于：先求出当时，函数的

10、零点，利用奇函数的性质，就可以求出当时，函数的零点，由于函 数是定义在 上的奇函数，所以有。 对于:分类讨论，当时，求出的解集；当时,求出的解集。 对于：利用导数，求出函数的值域，就可以判断是否正确。 【详解】对于：当时，有,由奇函数定义可知：，所以 本命题正确； 对于：当时， ，解得，即，根据奇函数的性质可知，又 因为定义域是 ，所以，因此函数有 3 个零点，本命题正确； 对于：当时，即,解得，； 当时，通过的分析，可知，当时，即，解得 ，本命题正确； 对于：当时，当时，函数单调递增；当 ，函数单调递减， 的极大值为， 当时，根据可知，当时，当时， 所以当时，由于是奇函数时， 而，所以当时，

11、即恒成立，本命题正确。 综上所述，有 4 个命题是正确的，因此本题选 A。 【点睛】本题考查了奇函数的性质、利用导数研究函数单调性。本题重点考查了数形结合思想、分类讨论思 想。 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.不等式组所表示的平面区域的面积等于_ 8 【答案】 【解析】 【分析】 在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，判断平面区域的形状，最后求出面积。 【详解】不等式组所表示的平面区域如下所示： 通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组解得 A 点坐标为，点 B 坐标为 （1，0） ，点

12、C 坐标为（2，0）因此三角形 ABC 的面积为， 所以不等式组所表示的平面区域的面积等于 。 【点睛】本题考查了不等组所表示的平面区域的面积。解决此类问题的关键是画出正确的平面区域。 14.已知，则的展开式中的常数项是_ 【答案】15 【解析】 【分析】 先由题计算出 值，再由二项式的通项求出常数项。 【详解】由题可得， 则展开式的通项是， 9 由得 所以常数项是. 【点睛】本题考查二项式定理和定积分，解题的关键是由定积分计算出 值，再求常数项，属于一般题。 15.在中，内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若，且，则三角形的 面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理，由，可以得

13、出 ， 的关系，再由余弦定理可以求出 ，也就可以求出再由同角三角函数的关系可以求出的大小，最后利用公式求出三角形 的面积。 【详解】由正弦定理可知：，已知， 由余弦定理可知：， 又因为 所以，。 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式以及同角三角函数关系。 16.三棱锥中，侧棱与底面垂直，且，则三棱锥的外接 球的表面积等于_ 【答案】 【解析】 【分析】 在长方体里，为高，则为底面的宽和长，求出长方体的体对角线长，利用长方体的对角 线的长等于长方体外接球的真径，求出半径，最后求出外接球的表面积。 【详解】把三棱锥，放到长方体里,如下图: 10 ,因此长方体的外接球的真径为, 所以半径,

14、则三棱锥的外接球的表面积为. 【点睛】本题考查求三棱锥的外接球的表面积。重点考查了转化思想。 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17.已知函数，数列为等差数列，其中，为的最小值. （1）求的通项公式. （2）已知是正项等比数列，求的通项公式，并求的前 项和. 【答案】 （1）（2），. 【解析】 【分析】 （1）把代入

15、函数解析式中可以求出，再求出函数的最小值，可求出，进而可求出 公差，最后求出等差数列的通项公式。 （2）利用已知可以求出，是正项等比数列，可以求出公比，进而可以求出的通项公式，利用等 差数列和等比数列前 和公式，可最后求出。 【详解】 （1）因为，所以， 的最小值为 1，所以. 因为是等差数列，所以公差， 所以的通项公式. （2）因， 且公比，所以公比. 的通项公式， 11 所以. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前 项和公式。 18.社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了 100 名男生、100 名女生，了 解他们一年参加社区服务的时间，按，（单位

16、：小时）进行统计， 得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图. （1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图. 抽取的 100 名男生参加社区服务时间的频率分布表 社区服务时间人数频率 0.05 20 0.35 30 合计 1001 学生社区服务时间合格与性别的列联表 不合格的人数合格的人数 男 女 12 （2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于 20 个小时才为合格，根据上面 的统计图表，完成抽取的这 200 名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有以上的把 握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由. （3）用以上这 200 名学生参加社区服务的时间估计全市 9 万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频 率作为概率. （i）求全