广东省2019届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

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1、1 广东省佛山市第一中学广东省佛山市第一中学 2019 届高三上学期期中考试届高三上学期期中考试 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合 则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为集合B中，xA，所以当x1 时，y321； 当x2 时，y3224； 当x3 时，y3327； 当x4 时，y34210. 即B1,4,7,10 又因为A1,2,3,4，所以AB1,4故选 D. 2.设 为虚数单位，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】

2、利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果 【详解】，则共轭复数为 故选 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题 3.记Sn为等差数列an的前n项和若S5=2S4，a2+a4=8，则a5=（ ） A. 6B. 7C. 8D. 10 【答案】D 【解析】 2 【分析】 利用等差数列的性质和求和公式求解，属于容易题. 【详解】设等差数列an的公差为 ，则，解得，所以.故选 D. 【点睛】等差数列的问题一般是利用基本量首项和公差来构建方程（组）求解，也可以利用性质进行简化计 算. 4.已知命题p：xR，x2-x+10命题q：若a2b2，则ab，下列命题为真命题的是（ ） A. B.

3、 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判定命题的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题 p：x=0R，使 x2-x+10 成立 故命题 p 为真命题； 当 a=1，b=-2 时，a2b2成立，但 ab 不成立， 故命题 q 为假命题， 故命题 pq，pq，pq 均为假命题； 命题 pq 为真命题， 故选：B 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中 档 5.已知ABC是边长为 1 的等边三角形，D为BC中点，则（+）（-）的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得到，进而由线性运算

4、及数量积运算得到结果. 【详解】是边长为 1 的等边三角形， 为中点， 而 3 故选：B 【点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是 利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 6.函数的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇 函数，则函数f（x）的图象（ ） A. 关于点对称B. 关于点对称 C. 关于直线对称D. 关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】 利用最小正周期为 ，求出 的值，根据平移得出 ，然后利用对称性求解. 【详解】因为函

5、数的最小正周期为 ，所以，图象向左平移 个单位后得到 ，由得到的函数是奇函数可得，即.令得， ，故 A,B 均不正确；令得，时可得 C 正确.故选 C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和性质.平移变换时注意平移方向和 对解析式的影响，性质求解 一般利用整体换元意识来处理. 7.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子 点数来产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现 1 点和 2 点代表下雨；投三次骰子代表三 天；产生的三个随机数作为一组。得到的 10 组随机数如下： 613，265，114，236，561，435，443，

6、251，154，353。则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两 天下雨的概率的近似值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可得，每天下雨概率 4 由十组数据可得三天中有两天下雨的概率 故选 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A. 8B. 16C. 24D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构，然后结合利用体积公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图所示，在棱长为 4 的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥， 四棱锥的底面积， 该几何体的体积. 本题选择 B

7、 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 5 9.函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果. 详解：函数， 可得， 函数是奇函数，排除 B， 时，排除 D， 时，对应点在第四象限，排除 C. 故选：A. 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函

8、数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象 10.已知正三棱锥内接于球 ，三棱锥的体积为，且，则球 的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 6 如图，是球 O 球面上四点，ABC 是正三角形，设ABC 的中心为 S，球 O 的半径为 R，ABC 的 边长为 2a，APO=BPO=CPO=30，OB=OC=R， ,，解得， 三棱锥 P-ABC 的体积为， ，解得 R=2 球的体积为 V= 故选：C 点睛：空间几何体与

9、球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆 的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般 把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解 11.若函数f（x）=2sinx+cosx在0，上是增函数，当 取最大值时，sin 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用辅助角公式把目标函数化简，求出 的值，从而可得 sin 的值. 【详解】， 设

10、，则. 由于在0，上是增函数，所以， 的最大值为， .故选 B. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换及三角函数的单调性.利用辅助角公式和诱导公式，逐步拆解目标，是 7 求解关键. 12.已知函数，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线 相同，则时，实数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：设切点为（，） ，则由切点处的斜率相同且切线相同得， 。因为，所以由得,并将其代入得， .设,利用导数法求得函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，所以,则.选 D。 考点：求最值。 【思路点睛】设出切点（，） ，利用导数求出切点处的导数及函数值，从而得到参数 a,b 的关

11、系，即 ，并，然后利用导数求最值得步骤求出，进而求解。本题 难度稍大，可能不能直接看到已知与所求的关系，在解题中，我们有时不妨采取“走一步看一步”的策略即一 个条件得到一个常规结论，这样可能就会“柳暗花明”。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式，以及齐次式切化弦的应用得到原式等于，代入求值即可. 8 【详解】 故答案为： 【点睛】1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用. 2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围

12、对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三 角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 14.已知数列 an的前n项和为Sn，且满足：a1=1，a2=2，Sn+1=an+2-an+1（nN*） ，则Sn=_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用时，求解. 【详解】当时，所以； 当时，由得，由于，所以数列 an是以 1 为首项，2 为公比的等比数 列，所以. 【点睛】本题主要考查利用退位相减法求解通项公式.已知条件是的关系式时，均可以使用这个方法， 注意验证起始项是否满足. 15.已知圆锥的顶点为 ，母线，所成角的余弦值为

13、，与圆锥底面所成角为 45，若的面积 为，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】 【解析】 分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式 求结果. 详解：因为母线，所成角的余弦值为 ，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为 ，设母线长为 所以， 9 因为与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为 因此圆锥的侧面积为 点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力 16.已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x0 时，则不等式的解集是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 利用构造新函数，结合单调性和奇偶性求解. 【详

14、解】设，则，结合可得为减函数.因为为奇函数， 所以为偶函数，作出简图如下： 结合简图，所以的解集是. 【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解不等式.利用单调性和奇偶性求解不等式时，通常结合函数的图 像来进行，构造的新函数的单调性利用导数可以判定. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 82.082.0 分）分） 17.等差数列an中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，bn的公比 （1）求an与bn； （2）求 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 10 (1)利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式建立方程

15、组求解； （2）先求出，结合的特点选择分组求和法进行求解. 【详解】 （1）由已知可得 解得，q=3 或q=-4（舍去） ，a2=6 （2）， = = = 【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力 18.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A= ， （1）求 tanC的值； （2）若ABC的面积为 ，求b的值 【答案】 （1）4；（2） 【解析】 【分析】 (1)利用及正弦定理求解； （2）结合面积公式及正弦定理可求. 【详解】 （1），及正弦定理，得：， ， 又由A= ，即B+C= ，得：-cos2B=sin2C=2sinCcosC， ，解得 tanC=4 11 （2）由 tanC=4，C（0，） ， ， 又因为 sinB=sin（A+C）=sin（ +C） ， 由正弦定理得， ， 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和三角形的面积公式求解三角形问题.三角形中边角互化是求解这类问 题的常用策略. 19.国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如表： 空气质量指数05051100101150151200201300300 以上 空气质量等级1 级优2 级良 3 级轻 度污染 4 级中度污染 5 级重 度污染 6 级严重污染 由全国重点城市环境监测网获得 10 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎