上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题（附解析）

《上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题（附解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题（附解析）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、- 1 - 上海市杨浦区上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷届高三二模数学试卷 一一. . 填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，题，1-61-6 每题每题 4 4 分，分，7-127-12 每题每题 5 5 分，共分，共 5454 分）分） 1.函数的零点是_ 【答案】 【解析】 函数单调递增，在只有一个零点 2.计算：_ 【答案】 【解析】 3.已知 的展开式中含有 项的系数是 54，则 n=_. 【答案】 【解析】 当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所 以要有且仅有一个交点，需 选 B. 【名师点睛】已知函数有零点求

2、参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 - 2 - 4.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为_ 【答案】 【解析】 掷一颗均匀的骰子，则掷的点数只可能是其中的一种，每种结果等可能出现，属于古典概率记 “出现奇数点”为事件 ，则 包含的结果有共 种结果，由古典概率公式可得 5.若满足，则目标函数的最大值是_ 【答案】 ； 【解析】 画出可行域,如下图阴影部分,其中令 ，则

3、, 为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点时, 有最大值 3. 6.若复数 满足，则的最大值是_ 【答案】2 【解析】 设 当时， 7.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3、3、2 的三角形，则该圆锥的体积是_ - 3 - 【答案】 【解析】 由图可得： 8.【2018 天津市和平区上学期期末考试】若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线 上，则 _ 【答案】4 【解析】 双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线的准线上， 可得，解得，故答案为 . 9.若，则的值为_ 【答案】 【解析】 由已知有 ， 为第三或第四象限的角 当 为第三象限的角时， ，则 当 为第四象限的角时

4、， ，则 - 4 - 10.若为等比数列，且，则的最小值为_ 【答案】4 【解析】 为等比数列， 公比 ， ， 当且仅当，即时取等号 的最小值为 11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. 若 为钝角，则的面积为_ 【答案】 【解析】 ， ， 由正弦定理可得： ， 由余弦定理可知可得： - 5 - 解得 点睛：本题主要考查的知识点是正弦定理和余弦定理。直接利用倍角公式求出的值，然后利用， 根据正弦定理求出 的值，再由二倍角的余弦函数公式化简已知等式求出的值，由 ， 及 的值利用余弦定理列出关于 的方程，求出 的值，利用三角形面积公式即可求出答案 12.已知非零向量、不共线，设，定义点

5、集 . 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立， 则实数 的最小值为_ 【答案】 【解析】 不妨设， ， ，则 设， 即 点 在此圆内 实数 的最小值为 点睛：本题考查了向量的综合运用并求最值，由可知三点共线，再由向量的 数量积的几何意义可得平分，可得点 的轨迹方程，由圆的直径代入求得最值 二二. . 选择题（本大题共选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知函数的图象如图所示，则 的值为（ ） - 6 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由函数的图象可知： ， 故选 14.设A、B是非空集合，定义：且. 已知，则等于

6、（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 求出集合 中的函数的定义域得到： ，即 可化为或 解得，即 ， 则 故选 15.已知，则“”是“直线与 平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 - 7 - ，则“”化为 ，即 直线与平行”可推出： ， ，则“”是“直线与 平行”的必要不充分条件 故选 16.已知长方体的表面积为，所有棱长的总和为.那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设三条棱 ， 整理可得 最短棱长为 ，体对角线长为 故选 点睛：本题以长方体为

7、载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代 入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值 三三. . 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=7614+14+14+16+18=76 分）分） - 8 - 17.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x满足函数关系 式. （1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 的

8、值最大？ 【答案】(1) 40 到 80 天之间(2) 每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每 天 【解析】 试题分析：直接代入令，解出 的值即可 根据条件列出不等式求出 的值，即可得到结论 解析：（1）要使营运累计收入高于 800 元，令， 解得. 所以营运天数的取值范围为 40 到 80 天之间 （2） 当且仅当时等号成立，解得 所以每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天 18.如图，在棱长为 1 的正方体中，点E是棱AB上的动点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成的角是 45 ，请你确定点E的位置，并证明

9、你的结论. 【答案】(1)见解析(2) 直线与平面所成的角是 45 时，点 在线段AB中点处 【解析】 试题分析：要证明，只需要证明即可，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标， - 9 - 得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算即可；另解：容易得到，又因为 ，得到平面，从而证得先利用求平面法向量的计算公式，求出平面的 法向量，由已知直线与平面所成的角是，利用甲角公式得到方程，解方程即可得到点 的位置 解析：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则， C(0,1,0) ，D1(0,1,2) ，A1(1,0,1)，设 （1）证明：， 所以DA1ED1 另解：，所以. 又，所以. 所以

10、 （2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系 所以、，设，则 设平面CED1的法向量为，由可得， 所以，因此平面CED1的一个法向量为 由直线与平面所成的角是 45 ，可得 可得，解得 由于AB=1，所以直线与平面所成的角是 45 时，点 在线段AB中点处 19.已知数列，其前 项和为，满足，其中， ，. （1）若，（） ，求数列的前 项和； （2）若，且，求证：数列是等差数列. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 - 10 - 试题分析：根据已知条件得到，两式相减得，得到求得 的值，进 而得到，即可得到数列为以 为首项， 为公比的等比数列，然后求得数列的前

11、项和； 将，且代入，解得，猜想，用数学归纳法证明 解析：（1），所以.两式相减得. 即 所以，即， 又，所以，得 因此数列为以 2 为首项，2 为公比的等比数列.，前n项和为 （2）当n = 2 时， 所以. 又，可以解得， 所以，两式相减得 即. 猜想，下面用数学归纳法证明： 当n = 1 或 2 时，猜想成立； 假设当（）时， 成立 则当时，猜想成立. 由、可知，对任意正整数n，. 所以为常数，所以数列是等差数列. 20.已知椭圆 ，直线 不过原点O且不平行于坐标轴， 与 有两 个交点A、B，线段AB的中点为M. （1）若，点K在椭圆 上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围； （2）证明：直

12、线的斜率与 的斜率的乘积为定值； （3）若 过点，射线OM与 交于点P，四边形能否为平行四边形？ 若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由 【答案】(1) (2)见解析(3) 当 的斜率为或时，四边形为平行四边形 - 11 - 【解析】 试题分析：将代入，求出焦点坐标，设，给出的表达式，消元求出范围 联立直线方程和椭圆方程化简得到，求出，的值，求出对应的直线斜率即 可得到结论 四边形为平行四边形，当且仅当线段与线段互相平分，即，建立方程关系 即可得到结论 解析：（1）椭圆，两个焦点、，设 所以 由于，所以， 由椭圆性质可知，所以 （2）设直线（） ， 所以为方程的两根，化简得， 所以，. ，所以

13、直线的斜率与 的斜率的乘积等于为定值. （3）直线 过点， 不过原点且与 有两个交点的充要条件是， 设 设直线（） ，即. 由（2）的结论可知，代入椭圆方程得 由（2）的过程得中点， 若四边形为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以， - 12 - 得，解得 所以当 的斜率为或时，四边形为平行四边形 点睛：本题是一道关于直线与椭圆的综合应用的题目，需要利用直线与椭圆的性质进行解答。在解答过程中 的计算尤为重要，这里需要设直线斜率和点坐标，设而不求，用斜率表示相关量，然后化简求值。 21.记函数的定义域为D. 如果存在实数 、 使得对任意满 足且的x恒成立，则称为 函数. （1）设函数，试判断是

14、否为 函数，并说明理由； （2）设函数，其中常数，证明：是 函数； （3）若是定义在 上的 函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期 函数？并证明你的结论. 【答案】(1) 是 函数(2)见解析(3) 函数为周期函数 【解析】 试题分析：求出的定义域，对任意恒成立转化成对任 意恒成立，解出，使得 为 函数只需证明存在实数 ， 使得当且时，恒成立，化简求 得，满足条件图象关于直线对称，结合，整体换元得 ，从而证明结论 解析：（1）是 函数 理由如下：的定义域为， 只需证明存在实数 ， 使得对任意恒成立. 由，得，即. 所以对任意恒成立. 即 从而存在，使对任意恒成立. 所以是

15、 函数. （2）记的定义域为 ，只需证明存在实数 ， 使得当且时， - 13 - 恒成立，即恒成立. 所以， 化简得，. 所以,. 因为，可得，, 即存在实数 ， 满足条件，从而是 函数. （3）函数的图象关于直线（ 为常数）对称， 所以 （1） ， 又因为 （2） ， 所以当时， 由（1） 由（2） （3） 所以 （取由（3）得） 再利用（3）式，. 所以为周期函数，其一个周期为. 当时，即，又， 所以为常数. 所以函数为常数函数， ，是一个周期函数. 综上，函数为周期函数 点睛：本题主要考查知识点的是新定义函数，证明函数的特性，本题的解题关键是抓住新定义中的概念，可 将问题迎刃而解。对于这类问题，我们要弄清问题的本质，在解题中适当的变形，已知条件的运用，函数周 期性等的证明即可得证，本题有一定难度 - 14 -