《复习幻灯片立体几何空间垂直关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复习幻灯片立体几何空间垂直关系（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间垂直关系,题型一 直线与直线垂直的判定,【例1】 已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F. (1)求证：AFSC； (2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD.,证明： 如图所示，(1)SA平面ABCD，BC平面ABCD，SABC. 在矩形ABCD中，ABBC， BC平面SAB，BCAE. 又SBAE，AE平面SBC， AESC.又EFSC， SC平面AEF，AFSC.,(2)SA平面ABCD， SADC.又ADDC， DC平面SAD，DCAG. 又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF， SCAG，AG平面SDC， AGSD.,1.
2、已知：ABC中ABC=900，SA平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影。 求证：SCEF,2.如图，已知BD平面ABC，MC BD，ACBC，N是棱AB的中点 求证：CNAD.,1.证明：ABC=900，SA平面ABC ABBC ， SABCBC平面SAB ， BCAF F为点A在SB上的射影AFSB AF平面SBC E为点A在SC上的射影 AESC SCEF,2.,题型二 直线与平面垂直的判定,【例2】RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点，如图所示 (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,【解答】 (1)取AB中点E，连接
3、SE，DE. 在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点， 故DEBC，且DEAB， SASB，SAB为等腰三角形， SEAB.DEAB，SEDEE， AB面SDE.而SD 面SDE， ABSD.在SAC中，SASC， D为AC的中点，SDAC. 又SDAB，ACABA， SD平面ABC.,(2)若ABBC，则BDAC. 由(1)可知，SD面ABC，而BD 面ABC， SDBD. SDACD，BD平面SAC.,【例3】 已知长方体AC1中，棱ABBC1，棱BB12，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F. (1)求证A1C平面EBD； (2)求点A到平面A1B1C的距离,
4、解析：(1)连结AC，则ACBD， AC是A1C在平面ABCD内的射影，A1CBD； 又A1B1面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1CBE， A1CBE. 又BDBEB，A1C面EBD.,(2)易证：AB平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离，又BF平面A1B1C. 所求距离即为BF .,1.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA45， 求证：MN平面PCD.,2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD. 证明：AD平面PAC.
5、,3.如图393所示，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AEPC于E， 求证：AE平面PBC.,1.【证明】 如图，取PD的中点E，连接AE，NE. E、N分别为PD、PC的中点，EN CD. 又M为AB的中点，AM CD. EN AM.四边形AMNE为平行四边形 MNAE.PA平面ABCD，PAAD， 又PDA45， PAD为等腰直角三角形AEPD. 又CDAD，CDPA， CD平面PAD.而AE平面PAD， CDAE.又CDPDD， AE平面PCD.MN平面PCD.,2.证明 ADC45，且ADAC1. DAC90，即ADAC， 又PO平面ABCD，
6、AD平面ABCD， POAD，而ACPOO， AD平面PAC.,3.【证明】 设O所在平面为，由已知条件知PA，而BC在内，所以PABC. 因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB 是O的直径， 所以BCA是直角，即BCAC. 又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线， 所以BC平面PAC，故BCAE. 又AEPC，PCBCC，所以AE平面PBC.,题型三 平面与平面垂直的判定与性质,【例4】 如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证： (1)DEDA； (2)平面BDM平面ECA； (3)平面DEA平面ECA.,(2)由(1)知D
7、AE为等腰三角形， 且M为底面EA的中点，故DMAE. 取CA中点N，连接MN、NB， 则MNEC，且MN EC， 又DBEC，且DB EC， 故BDMN，且BDMN， 又由DB平面ABC知DBBN，,证明 (1)取EC中点F，连接DF， 由EC平面ABC及BDCE知DB平面ABC. 故DBAB，ECBC， 又BDFC，BD CEFC， 四边形FCBD为距形， 于是DFEC，又DFBCBA，RtDFERtABD， 所以DEDA.,所以四边形MNBD为矩形， 于是DMMN，因MNAEM， 所以DM平面ECA，而DM平面BDMN， 则平面BDM平面ECA. (3)因DM平面ECA，又DM平面DEA
8、， 所以平面DEA平面ECA.,【例5】如图1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点将ABE沿AE折起后如图2，使二面角BAEC成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点 (1)求证：AEBD； (2)求证：平面PEF平面AECD； (3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由,(1)证明：设AE中点为M， 在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，ABE与ADE都是等边三角形 BMAE，DMAE. BMDMM，BM、DM平面BDM，AE平面BDM. BD平面BDM，AEBD.,(2)证明：连结CM交EF于点N，ME FC， 四边
9、形MECF是平行四边形N是线段CM的中点 P是BC的中点，PNBM. BM平面AECD，PN平面AECD. 又PN平面PEF，平面PEF平面AECD.,(3)解：DE与平面ABC不垂直 证明：假设DE平面ABC，则DEAB， BM平面AECD.BMDE. ABBMB，AB、BM平面ABE，DE平面ABE. DEAE，这与AED60矛盾 DE与平面ABC不垂直,1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4 .M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD.,2.已知在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，AD
10、B60，E、F分别是AC、AD上的动点， 且 (01) (1)求证：不论为何值，总有 平面BEF平面ABC； (2)当为何值时，平面BEF平面ACD?,1.,2.【解答】 (1)AB平面BCD， ABCD， CDBC且ABBCB， CD平面ABC. 又 (01)， 不论为何值，恒有EFCD， EF平面ABC，EF平面BEF， 不论为何值恒有平面BEF平面ABC.,(2)由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD， BE平面ACD，BEAC. BCCD1，BCD90，ADB60， BD ，AB tan60 ， AC 由AB2AEAC得AE ， ， 故当 时，平面BEF平面ACD.,题型四 线面
11、角和二面角的求法,【例6】 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求A1B与平面A1B1CD所成的角.,【例7】如图所示，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分别是AB，PC的中点. （1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小； （2）求证：平面MND平面PCD.,（1）解：PA平面ABCD，CDAD, PDCD. 故PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD, PDA=45.,（2）证明:取PD中点E，连结EN，EA，则 EN CD AM, 四边形ENMA是平行四边形， EAMN. AEPD,AECD, AE平面PCD
12、，从而MN平面PCD， MN平面MND， 平面MND平面PCD.,1.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M，N分别为PC，PB的中点. (1)求证：PBDM; (2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。,1.（1）证明：N是PB的中点，PAAB，ANPB,AD平面PAB，ADPB， 从而PB平面ADMN，DM平面ADMN， PBDM.,(2)取AD的中点G，连结BG，NG，则BGCD， BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等. PB平面ADMN， BGN是BG与平面ADMN所成的角. 在tBGN中，sinBGN= . 故CD与平面ADMN所成的角的正弦值是 .,
