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1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 (理) 20193本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知集合,集合,则A B C D2在复平面内,复数对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3的展开式中的常数项为 A B C D 4若函数 则函数的值域是A B C D5如图,函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的,则的解析式可以是 ABCD6记不等式组所表
2、示的平面区域为“点”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为),则该三棱锥的体积为 ABCD8某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是A5 B6 C7 D8第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在答题卡上 9双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 10执行如图所示的程序框图,则输出的值为 11在极坐标系中,直线与圆相交于两点,则_ 12能说明“函数的图象
3、在区间上是一条连续不断的曲线若,则在内无零点”为假命题的一个函数是 13天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示),上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石(如图2所示)上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,则第二十七环的扇面形石块数是_;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 14在平面内,点是定点,动点满足,则集合所表示的区域的面积是 三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步
4、骤或证明过程15(本小题满分13分)在中,的面积等于,且()求的值;()求的值16(本小题满分13分)某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟)将统计数据按分组,制成频率分布直方图:假设乘客乘车等待时间相互独立()在上班高峰时段,从甲站的乘客中随机抽取1人,记为;从乙站的乘客中随机抽取1人,记为.用频率估计概率,求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率;()从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人,表示乘车等待时间小于20分钟的人数,用频率估计概率,求随机变量的分布列与数学期望.17(
5、本小题满分14分)如图,在多面体中,平面平面四边形为正方形,四边形为梯形,且,()求证:;()求直线与平面所成角的正弦值;()线段上是否存在点,使得直线平面? 若存在,求的值;若不存在,请说明理由18(本小题满分13分)已知函数 且.()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求证:;()讨论函数的极值19(本小题满分14分)已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于两点,点为椭圆的左焦点()求椭圆的离心率及左焦点的坐标;()求证:直线与椭圆相切;()判断是否为定值,并说明理由20(本小题满分13分)在无穷数列中,是给定的正整数,()若,写出的值;()证明:数列中存在值为的项;()证明:若互质,则数
6、列中必有无穷多项为北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学(理)答案 20193一、选择题:(本题满分40分)题号12345678答案BDCAACDB二、填空题:(本题满分30分)题号91011121314答案(答案不唯一)2433402三、解答题:(本题满分80分)15 (本小题满分13分)解:()由已知得整理得解得或因为,所以.8分()由正弦定理,即所以 .13分16(本小题满分13分)解:()设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”,表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”,表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟” 由题意知,乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为,故的估计值为乘客乘车
7、等待时间小于20分钟的频率为,故的估计值为又.故事件的概率为.6分()由()可知,乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为,所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然,的可能取值为且. 所以; ;.故随机变量的分布列为 .13分17(本小题满分14分)解:()证明:因为为正方形,所以又因为平面平面,且平面平面,所以平面所以4分()由()可知,平面,所以, 因为,所以两两垂直分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图)因为,所以,所以设平面的一个法向量为,则 即 令,则,所以设直线与平面所成角为,则.9分()设,设,则,所以,所以,所以设平面的一个法向量为,则 因为,所以 令,则,所以在
8、线段上存在点,使得平面等价于存在,使得因为,由,所以,解得,所以线段上存在点,使得平面,且.14分18 (本小题满分13分)解:()当时,所以因为,所以曲线在处的切线方程为.3分()当时, 函数的定义域为 不等式成立成立成立.设,则当变化时,变化情况如下表:极大值所以因为,所以,所以.8分()求导得. 令,因为可得当时,的定义域为.当变化时,变化情况如下表:极大值此时有极大值,无极小值当时,的定义域为,当变化时,变化情况如下表:极小值此时有极小值,无极大值.13分19 (本小题满分14分)解:()由题意, 所以离心率,左焦点.4分()当时直线方程为或,直线与椭圆相切当时,由得,由题知,即,所以
9、 =故直线与椭圆相切.8分()设,当时, 所以,即当时,由 得,则,因为 所以,即故为定值 .14分20 (本小题满分13分)解:(I).3分(II)反证法:假设,由于,记.则.则,,,依次递推,有,则由数学归纳法易得当时,与矛盾.故存在,使所以,数列必在有限项后出现值为的项.8分(III)首先证明:数列中必有“1”项用反证法,假设数列中没有“1”项,由(II)知,数列中必有“0”项,设第一个“0”项是 ,令,则必有,于是,由,则,因此是的因数,由,则或,因此是的因数.依次递推,可得是的因数,因为,所以这与互质矛盾所以,数列中必有“1”项其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是,令,则,若,则数列中的项从开始,依次为“1,1,0”的无限循环,故有无穷多项为1;若,则,若,则进入“1,1,0”的无限循环,有无穷多项为1;若,则从开始的项依次为,必出现连续两个“1”项,从而进入“1,1,0”的无限循环,故必有无穷多项为113分- 12 -