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1、2019/4/24,1,广义逆矩阵及其应用,0940503205 成芳娟,2019/4/24,2,广义逆矩阵及其应用,广义逆矩阵的定义 广义逆矩阵的求法 广义逆矩阵的应用,2019/4/24,3,广义逆矩阵的定义,1,1956年Penrose 广义逆定义 定义（1）AXA=A （2）XAX=X （3）（AX）*=AX （4）（XA）*=XA 则满足（1）式的X记 A1 ，A（1）称为A的减号逆 满足（1）（2）式的X记A1,2，A（1,2）称为A的自反减号逆 满足（1）（3）式的X记A1,3，A（1,3）称为A的1,3逆或最小范数广义逆 满足（1）（4）式的X记A1,4，A（1,4）称为A的1
2、,4逆或最小二乘广义逆 满足（1）（2）（3）（4）的X记A1，2,3,4，A（1,2,3,4）称为A的加号逆,2019/4/24,4,2,1920年Moore 广义逆定义,（1）预备知识,定义1：设L，M为,的子空间并构成直和,即,唯一的,使得,称y为x沿着M到L的投影。 将任意,变为其沿着M到L,的投影变换称为沿着M到L的投影算子，记为,即,投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵仍记为,定义2：设L为,的子空间，其正交补空间,则称沿着,到L的投影算子,为正交投影算子，简记,正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为,2019/4/24,5,定义3：设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空
3、间,是W的一组基，那么这组基向量必定可以扩充为整个空间的基，也就是 说在V中必定可以找到n-m个向量,使得,是V的一组基。,（2）投影矩阵的构造,首先： 设已知Cn的子空间L，M构造直和,下面构造,取L的一个基,（设L为r维子空间），M的一个基,（则M的维数为n-r）,由直和关系知,即构成,的一个基。 故如令,则,2019/4/24,6,为可逆方阵 另外,即：,其次，构造正交投影矩阵,设L的一个基为,的一个基为,令,则,因为,2019/4/24,7,2019/4/24,8,(3),Moore 广义逆定义,Moore定义：设,且,则X为A的Moore广义逆。,2019/4/24,9,广义逆矩阵的
4、求法 一、减号逆,1，减号逆A-的求法 例1：求证A= Ir 0 则A-= Ir * 其中*是适当阶数的矩阵，A-是减号逆，所有减 0 0 * * 号逆都可以写成A-的形式,证明：首先AA-A= Ir 0 Ir * Ir 0 = Ir 0 =A 则A-是减号逆 0 0 * * 0 0 0 0 其次 G G1 G2 若G属于A的减号逆，则G满足 G3 G4 AGA=A Ir 0 G1 G2 Ir 0 = G1 0 = Ir 0 0 0 G3 G4 0 0 0 0 0 0 则G1=Ir G2，G3，G4是无限制的，故原命题成立,2019/4/24,10,引理：设Bmn=PmmAmnQnn 其中P
5、Q可逆，则A-=QB-P ，B-=Q-A-P- 由引理可知求得Q，B-，P 即可得到A的一个特定减号逆,初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵 初等列变换等价于矩阵右乘一个初等矩阵 矩阵经过初等变换可以变为 Ir 0 0 0,矩阵减号逆的求法 对矩阵 Amn Imm 的前m行做行变换，前n列做列变换可以变为 B P Inn 0 Q 0 则A=PBQ A-=QB-P 则可以求得矩阵A的减号逆,例2： 1 0 -1 1 A= 0 2 2 2 则求A的减号逆？ -1 4 5 3,2019/4/24,11,解：先对A进行行变换 1 0 -1 1 1 0 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 2 2 2
6、0 1 0 0 1 1 1 0 1/2 0 -1 4 5 3 0 0 1 0 0 0 0 1/4 -1/2 1/4,再对 1 0 -1 1 进行列变换变为 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,则可以得到 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 -1 B= 0 1 0 0 P= 0 0 Q= 0 1 -1 -1 0 0 0 0 -1/2 0 0 1 0 0 0 0 1,2019/4/24,12,则 A-=QB-P = 1 0 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1/4 -1
7、/2 0 0 0 1,= 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 0 0 0,= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2，减号逆A1的求法 定理：设 是的一个特定逆，则 其中 （）（）其中,2019/4/24,13,证明：验证 则A（A+U） 对 A 令X （） 则 其中 则原命题是正确的 同理可以证明式是成立的,2019/4/24,14,二、自反减号逆,如何求自反减号逆 首先 设 ,若是的自反减号逆则应该满足等式 即 ,则 Ir B = Ir B 则D=CB C CB C D 故A的自反减号逆Ar-= Ir B B C为任意阶数的矩阵 C CB,所
8、以 A=P Ir 0 Q 则A的自反减号逆 Ar-=Q Ir B P 0 0 C CB,2019/4/24,15,例3 ： 若A= 1 2 -1 求A的自反减号逆Ar- 0 -1 2,解：对A做初等变换 A E E 0,0 0 1 2 则可以得到 P= 1 2 0 1 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0 Q= 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1,则 Ar- = 1 0 即 A的自反减号逆为 1 2 Q 0 1 B P 0 -1 C CB 0 0,2019/4/24,16,三、加号逆,1，矩阵的奇异值分解 （1）预备知识 定义1：若实方阵Q满足QTQ=
9、E，则称Q是正交矩阵 定义2：若存在正交矩阵P，使得PTAP=B 则称A正交相似于B 定义3：ACnn共轭转置矩阵记为AH 定义4：若AH=A，则称A为Hermit矩阵 定义5：设ACnn,若AHA=AAH，则称A为正规矩阵 定义6：设ACnn，若AHA=AAH=E，则称A为酉矩阵 定义7：设ACnn，若存在酉矩阵P，使得PHAP=B，则称A酉相似于B 性质1：若A是n阶实对称矩阵，i(i=1,2,n)是A的特征值，则恒存在正交阵Q,使得QAQ=diag(1,2,n) 而且Q的n个列向量是一个完备的标准正交特征向量系。 性质2：若ARnn,是非奇异矩阵，则存在正交阵P和Q，使得 PTAQ=di
10、ag(1,2, n) 其中，i(i=1,2,n),2019/4/24,17,性质3（1）设ACmnr,(r0) ,则AHA是Hermit矩阵，且其特征值均是非负数 （2）rank(AHA)=rank(A) (3)设ACmn,则A=0的充要条件是AHA=0 性质4（1）设ACmn，则A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规阵 （2）设ARnn,且A的特征值都是实数，则正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵,（2）矩阵的奇异值分解 定义：设ACmnr,(r0) ，AHA的特征值为 12. rr+1=n=0 则称i= 是A的奇异值;规定零矩阵的奇异值都是0 定理:设ACmnr,(r0) 则存在m
11、阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得 A= U 0 VH 其中矩阵=diag(1,2,r) ,而数i是矩阵A的 0 0 所有非零奇异值，则称此分解为奇异值分解。,2019/4/24,18,证明：根据性质3，AHA是Hermit矩阵，且其特征值均是非负数， 且12. rr+1=n=0 显然，AHA是正规矩阵。根据性质4，存在n阶酉矩阵V，使得 1 VH（AHA）V= = 2 0 n 0 0 其中 ： 2 = 1 r,设V有分块形式 V=（V1 V2），V1Cnrr,V2n(n-r) r 则有AHAV=(AHAV1 AHAV2)=(V1 V2) 2 0 =(V1 2 0) 0 0 即AHAV1=V1 2
12、 AHAV2=0 由AHAV1=V1 2 得 V1HAHAV1= 2 或（AV1-1）H(AV1-1)=E 其中 =,2019/4/24,19,由AHAV2=0 ,得（AV2）H(AV2)=0 或AV2=0 令U1=AV1-1=(u1,u2,ur) 则U1HU1=Er 根据线性代数理论知，可将两两正交的单位列向量u1,u2,ur扩充为Cm的标准正交基 u1,u2,ur,ur+1,um 记矩阵U2=（ur+1,um）,则 U=(U1 U2)=(u1,ur,ur+1,um) 是m阶酉矩阵，且U1HU1=Er U2HU2=0 于是UHAV=UH(AV1 AV2)=U1H U1 0 U2H = U1HU1 0 =
