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1、3.8 气体输运系数的导出,气体分子的运动速度可表示为：,定向运动速度,热运动速度,宏观看来，一个小的区域内分子的平均速度就是该处气体的定向运动速度。,气体分子动理论：,气体分子总有杂乱无章的热运动,任意截面S两侧交换分子；,若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，,S 截面两侧分子的某种物理性质就不同；,S 面两侧交换分子的结果就使得某种物理量沿S法线传输，,此即输运现象。,若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，,S 截面两侧分子的某种物理性质就不同；,S 面两侧交换分子的结果就使得某种物理量沿S法线传输,扩散现象：,不均匀的物理量是分子数密度。,在相同时间内由高密度侧运动到低密度侧的
2、分子数多，,净的结果是使气体分子从密度大的地方传输到密度小的地方。,因此扩散过程是输运分子本身的过程，是输运物质的过程，也是输运质量的过程。,热传导现象：,S 面两侧沿法线方向不均匀的物理量是温度。,此时分子热运动的能量就不同。,只考虑单纯的热传导。,设气体内没有宏观粒子流，相同时间内经S 面由一侧到另一侧的分子数等于反向运动的分子数，,即S 两侧交换分子对。,热传导现象：,S 面两侧沿法线方向不均匀的物理量是温度。,此时分子热运动的能量就不同。,设S 两侧交换分子对。,高温侧分子的热运动能量大，低温侧分子热运动的能量小。,交换分子对的结果使热运动能量从高温侧传到低温侧，即：,热量从高温侧传到
3、低温侧，此即气体的热传导。,因此气体的热传导过程是一种能量输运过程，,传输的是分子热运动的能量。,若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，,S 截面两侧分子的某种物理性质就不同；,S 面两侧交换分子的结果就使得某种物理量沿S法线传输,黏性现象：,S 面两侧的定向运动速度不均匀。,为了单纯考虑黏性现象，假定气体中各处分子数密度、温度都相同。 S 面两侧仅交换分子对而没有净的分子流动。,即上方分子定向运动的动量大。,若沿S面法线方向有某种物理量存在不均匀性，,S 截面两侧分子的某种物理性质就不同；,S 面两侧交换分子的结果就使得某种物理量沿S法线传输,黏性现象：,S 面两侧的定向运动速度不均匀。
4、,假设S 面上方分子的定向运动速度大，,S 面两侧交换分子对的结果使分子定向运动的动量由上方传到下方。,S 面上方气层的定向动量减小。,动量定理知：,上方气体层受到了一个与定向运动动量反向的力，即阻力。,同理，S 面下方空气层的定向动量增加。,该层气体受到了一个与定向运动动量同向的力，即拉力。,这一对力就是黏性力，,他们阻碍两层气体的相对滑移。,可见，黏性现象传输的是定向运动动量，,传输的方向是定向动量减小的方向。,在非平衡态下，当存在某种物理量的不均匀性时，由于分子热运动和分子碰撞，气体分子的动量、能量、质量等物理量沿一定方向传输，这就是气体的输运现象。,这几种输运现象遵循的基本规律是傅立叶
5、定律,牛顿黏性定律,以及菲克定律,其中的输运系数、D 对于系统由非平衡态趋向平衡态的速率有重要意义，,是表示气体热物理性质的基本物理量。,获取输运系数的主要方式：,1. 实验测定；,2. 从气体分子动理论的基本物理图象出发，对这几种输运现象作出恰当的微观解释，从理论上得到这些输运系数与气体分子热运动和相互作用力性质之间的关系，并与实验数据比较，得到输运系数与气体温度和压强的一般关系式。,对气体中的输运现象作微观解释的两个基本出发点：,1. 气体必须足够稀薄，满足条件,气体分子的平均自由程,分子的有效直径,气体中主要发生的是两个分子间的碰撞，因而,有效。,气体又不能太稀薄，,要求从处于非平衡态的
6、气体中取出任意小体积元V 满足：,从宏观看它很小，即：,，L是气体容器的线度。,从微观看它很大，即：,，因而统计规律仍然有效。,总之，要求气体满足：,或写成：,即假定任一分子经一次碰撞就具有了碰撞处气体分子的性质。,对气体中的输运现象作微观解释的两个基本出发点：,1.要求气体满足：,或写成：,2. 所讨论的输运过程都是较简单的近平衡的非平衡过程，,因而空间宏观不均匀性都不大，有：,近似结论：, 所讨论的气体满足局域平衡假设，,因而可对宏观量(u,n,T)等的变化作级数展开后取一级近似。, 一次碰撞同化假设：,不论分子碰撞前的平均数值怎样，经过一次碰撞后就具有在新的碰撞地点的平均动能、平均定向动
7、量及平均粒子数密度。,3.8.1 气体黏性系数的导出,层流流体中分子的运动动量可表示为：,定向运动动量,热运动动量,热运动动量的平均值为零，只需考虑流体中各层分子的定向动量。,在z=z0处取一个平行于气体定向动量方向的平面，,将气体分为上下两层。,各层流速不同的气体由于分子无规则热运动交换分子对，其结果出现了动量的输运及黏性力。,根据动量定理，,在t 时间通过z=z0平面上的A 面元交换的分子对使A层气体增加的规则流动动量等于在宏观上A层气体经A 面元所受冲量f dt,为简单，做如下假设：,为简单，做如下假设：,1. 由A层穿过z=z0平面到达B层的分子来自 那一层,由B层穿过z=z0平面到达
8、A层的分子来自 那一层。,即所有通过z=z0平面的分子在通过z0平面前的最后一次碰撞发生在 这两层的位置。,2. A、B两层在t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子数均为：,3. 一次碰撞同化假设：,A、B两层分子在z0面交换分子对时所具有的动量分别为：,平均讲：,由A层到B层的分子来自于 一层,具有的流动动量为,由B层到A层的分子来自于 一层,具有的流动动量为,A、B两层每交换一对分子，A层沿y方向的规则流动动量得到PB失去PA 。,沿y方向的规则流动动量沿z轴正方向的净增量为:,t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子对使A层沿y方向的规则流动动量沿z轴正方向的净增量为:,t
9、 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子对使A层沿y方向的规则流动动量沿z轴正方向的净增量为:,动量定理：,根据基本出发点2，,对宏观量u的变化作级数展开后取一级近似：,P 等于A层A 面元所受的黏性力的冲量f t，即：,牛顿黏性定律：,二、讨论：,1. 与分子数密度n、压强P无关：, 预言与n、P无关，是气体分子动理论的一个突出成就。,预言与n、P无关，是气体分子动理论的一个突出成就,二、讨论：,1. 与分子数密度n、压强P无关：,可见气体的黏性与分子数密度及气体压强无关。, 这个结果最初由麦克斯韦于1860年从理论上导出。,初看：,单位时间通过A交换的分子对数目增加,输运的动量增加,但
10、是要注意到：,同时还有,线性,因而总的输运量不变，即, 与粒子数密度n、压强P无关,1. 与粒子数密度n、压强P无关。,2. 是温度的函数：, 刚性分子：, 非刚性分子：, 与温度T有关：,因而实际上黏度系数的变化要快些，近似有：,3. 可利用,测定气体分子碰撞截面及,气体分子有效直径的数量级。,1. 与粒子数密度n、压强P无关。,2. 是温度的函数：,4.,的适用条件为：,其中L为容器线度,5. 公式推导中使用了多个近似条件或结论，这在物理中常用,即在不影响数量级的情况下作简化近似是必要的。,3. 可利用,测定气体分子碰撞截面及,气体分子有效直径的数量级。, 刚性分子：, 非刚性分子：,预言
11、与n、P无关，是气体分子动理论的一个突出成就,3.8.2 气体热传导系数与扩散系数,一、气体的热传导系数：,1. 公式推导：,气体热传导是在热运动过程中交换分子对的同时传输了能量。,z=z0平面将气体分为A、B两层，,沿z轴方向存在温差。,在 这两层对应的温度及分子平均动能为,根据基本出发点2，,A、B两层在t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子数均为,对宏观量 的变化作级数展开后取一级近似：,A、B两层在t 时间内通过z=z0平面上的面元A交换的分子数均为,因而单位时间从单位截面通过的热流密度：,理气的内能就是其分子热运动的能量，即：,因而理气定体摩尔热容为：,傅立叶定律：,气体导热
12、系数为：,2. 讨论：, 公式中的 对应于气体的平均温度。,稳恒时：, 纯气体：, 纯气体：, 与粒子数密度n、压强P无关。, 刚性分子：, 非刚性分子：,则、T 的变化关系更陡，如：, 公式中的 对应于气体的平均温度。, 适用条件：,二、气体的扩散系数：,1. 公式推导：,仅考虑自扩散现象。,z=z0平面将气体分为A、B两层，,沿z轴方向存在粒子数密度梯度。,设z0平面的粒子数密度为n(z0)，,在 这两层粒子对应的粒子数密度为,根据基本出发点2，,对宏观量n 的变化作级数展开后取一级近似：,在 平面最后一次碰撞完的分子，在t 时间穿越A面两侧交换的分子为：,扩散是在系统内不存在宏观流动，仅
13、只是因为气体分子数密度分布不均匀而形成的粒子迁移。,在 平面最后一次碰撞完的分子，在t 时间穿越A面两侧交换的分子为：,单位时间在z0平面单位面积处由下方B层气体净输运到A层气体的平均分子数，即粒子流密度为：,菲克定律：,气体子扩散系数：,2. 讨论：,可见：, 刚性分子：,T、P一定时，,即：质量小的分子扩散能力强。, 在一定温度下，,原因：,2. 讨论：, 当压强P一定时，,但实验结果比理论值大，为：,强调,1. 上述D、的关系式仅适用于 较小的情况,2. 满足上述D、 关系的理气应满足：,引起输运的原因,气体内部存在某种不均匀性,定向流速u不均匀,温度T不均匀,粒子数密度n不均匀,不均匀
14、程度以某一物理量的梯度来描述,定向流速梯度,温度梯度,粒子数密度梯度,沿负梯度方向输运的物理量,定向动量,热量,质量,宏观输运规律,牛顿黏性定律,傅立叶定律,菲克定律,输运系数恒为正，与系统状态和性质有关,黏滞系数,导热系数,扩散系数,输运过程三个宏观规律的比较,3.8.3 与实验结果的比较,一、成功方面：,1. 解释了三种输运过程的实质，并成功导出了输运现象的宏观规律：,2. 、 与气体分子数密度、气体压强无关，仅只是温度的函数。,这个结论在102106Pa的广泛压强范围被证实是正确的。,这个成功对气体分子运动论的建立起了重要的推动作用。,二、存在的问题：,理论,实验,理论对于实验的偏离有以
15、下原因：,1. 理论采用硬球模型，认为分子碰撞的有效直径d是常量。,实际：,温度升高时，入射分子动能增大，d 略减小,因而输运系数随温度的增大应比理论表达式给出的快些，故有：,2. 初级理论中的速率和自由程都用平均值代入，没有考虑统计分布。,若考虑统计分布，可以想象：,交换的分子对中速率大的占的比率要高一些，而速率大的分子携带的热运动能量大些，因而大些。,但分子携带的定向运动动量却与分子热运动速率无关。,因而 / 的值应比初级理论预言的大些。,3. 初级理论采用了一些过于简单的假设。,例如：,分子经一次碰撞后就失去了原有运动特征的假设就不合理。,金斯指出：,分子要经过几次碰撞后才会完全失去原有的速度，并称之为“速度留住”。,考虑这种因素后所得输运系数前的数值因子要修正。,4. 输运现象是非平衡问题，但仍用了一些平衡态公式，如：,例：估算标准状况下空气的黏性系数、热导率、扩散系数,前面已估算出标准状况下空气的自由程、平均速率、摩尔质量为：,Mm = 2910-3kg/mol,空气密度为：,Mm = 2910-3kg/mol,空气密度为：,与实验数据的数量级基本一致，但有偏差。,注意,上面的4点分析也只是做修正偏差。,，气体分子就可以在两个器壁间来回运动（甚至多次来回）而不与其他
