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1、3.5 回归模型的其他函数形式,一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例,在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。,如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。,一、模型的类型与变换,1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法,例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收； r：
2、税率,设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0,倒数模型双曲函数模型,下述模型称为双曲函数模型： 双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。,多项式回归模型,下述模型称为多项式回归模型： 多项式回归模型在生产与成本函数领域应用广泛。在多项式回归模型中，等式右边虽然只有一个解释变量，但却以不同的次幂出现，因此可以把它们看做是多元回归模型中的不同解释变量。,2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法,例如，Cobb-Daugla
3、s生产函数：幂函数 Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动,两边取对数：,其计量模型为：,双对数模型（1）,经对数变换得到如下对数线性模型： 这就是一个多元对数回归模型。B2和B3称为偏弹性系数，含义为当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。如果误差项 ui 服从正态分布，则称误差项i 服从对数正态分布。当模型满足古典假定条件时，我们就可以对模型进行参数估计及参数显著性检验和回归方程的显著性检验。,B2的含义,由于回归系数B2表示解释变量变化一个单位引起被解释变量变化B2个单位。则在对数模型中，我们可以得到： 在对数回归模型中解释变量的系数表示弹性，且弹性为常数。通常情况下，我们又称对数
4、模型为不变弹性模型。,对数模型的参数估计与假设检验,我们仍然使用普通最小二乘法得到的Bi估计值bi ，i=1,2,3。 注意此时所估计模型的解释变量是lnK、 lnL ，被解释变量是lnY。 若随机模型满足古典假定，可以证明bi是Bi的线性无偏最小方差（有效）估计量。 对数模型的假设检验与线性模型的假设检验完全相同。,例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对数模型的结果如下：,对数模型,半对数模型（1）,下述模型称为半对数模型或对数线性模型： B2表示X增加一个单位，Y的平均增长率；即表示的是因变量的相对增量。,半对数模型（2）,在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝对量的平
5、均增量，即Y增加B2个单位。 在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的相对量的平均增量，即Y增加100*B2 %。,半对数模型（3）,例：以时间t作为解释变量模型增长模型 我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中介绍过的复利计算公式： 等式两端取对数：,半对数模型（4）,根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型： 利用美国1973年到1987年间未偿还消费者信贷的数据，得到如下结果： B2表示的就是Y的年增长率。,3、复杂函数模型与级数展开法,方程两边取对数后，得到：,(1+2=1),Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数,例如，常替代弹性CES生产
6、函数,将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。,如取0阶、1阶、2阶项，可得,并非所有的函数形式都可以线性化,无法线性化模型的一般形式为:,其中，f(x1,x2,Xk)为非线性函数。如：,二、非线性回归实例,例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。,根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为,Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。,零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变,(*),(*),为了进行比较，将同时估计（*）式与（*）式。,根据
7、恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:,首先,确定具体的函数形式,对数变换:,考虑到零阶齐次性时,(*),(*),(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得,因此，对（*）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。,X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消费价格指数 XC：人均消费（90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100,中国城镇居民人均食品消费,特征： 消费行为在19811995年间表现出较强的一致性 1995年之后呈现出另外一种变动特征。,建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:,(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34),按零阶齐次性表达式回归:,（75.86）(52.66) (-3.62),为了比较，改写该式为：,发现与,接近。,意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征,教学单元编号：24-10,
