金融衍生工具定价理论0程黎晔已完成

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1、第9章 金融衍生工具定价理论 【考试要求】 9.1 未定权益定价的一般原理 占优策略、套利机会与风险中性概率测度 市场的完全性与未定权益的定价 9.2 二叉树模型 单期二叉树模型 单期二叉树模型下衍生品的定价公式 多期二叉树模型 CRR模型 9.3 Black-Scholes模型 Black-Scholes微分方程的推导 基于鞅方法的Black-Scholes公式 “希腊字母”及其意义,【要点详解】 9.1 未定权益定价的一般原理 1占优策略、套利机会与风险中性概率测度 （1）一般的单期市场模型 模型仅涉及两个时刻：0时刻（即当前时刻，此时金融资产的价格是确定的）、1时刻（即未来某个时刻，对风

2、险资产而言，其价格是一个随机变量）。假定1时刻市场的状态空间为： 其中 代表未来市场可能出现的一种状态。在 上存在客观的概率测度P，满足 假设市场上存在N个基础风险资产，那么交易者在资产组合策略 下的成本 为： 其中 表示N个基础风险资产在0时刻的价格向量； ， 代表交易者持有资产i的数量。,N个资产在1时刻的支付矩阵用D表示： 其中dij表示第i个证券在状态 下的支付额。从而在1时刻资产组合的市值 可以表示为： 其第j个分量表示1时刻出现状态 时资产组合的市值，用 表示。,（2）占优策略、套利机会 若存在另一个策略 ，使得 且对任意的 ， 成立，则称策略 是一个占优策略。 一个套利机会是指满

3、足下列两个条件之一的策略 ： 或 根据占优策略以及套利机会的定义可知：如果市场存在一个占优策略，那么市场一定存在套利机会。 命题9-1：如果市场是无套利的，则市场不存在占优策略。 此命题反过来的结论是不成立的，即市场不存在占优策略但却可能存在套利机会。,（3）市场无套利条件 称资产组合 为Arrow-Debreu证券，若在1时刻市场出现状态i时，组合 的支付额为1单位；当出现状态 j 时，组合 的支付额为0。 称 （ ）为状态价格向量，如果 满足： 或者 ，其中 。 一般而言，市场不一定存在Arrow-Debreu证券和状态价格向量；若两者都存在，则第i个Arrow-Debreu证券的成本为：

4、 资产定价第一基本定理：市场无套利市场存在状态价格向量。,（4）风险中性概率测度 令 ，可以将 视为无风险证券的价格。在单期市场模型中，若假定存在无风险资产，则其0时刻 的价格为 ，即 ，其中r为无风险收益率。 定义一个 上新的概率测度Q： 令 ，也即 对应了Q在每个样本点上的概率值。Q与已存在的客观概率测度P不同，它 是主观的。二者的关系是：Q等价于P。,根据状态价格向量的定义可以得到等式： 若用表示测度Q下的期望，则有： 如果市场存在无风险收益率r，上式可写为： 至此可以看出：测度Q是风险中性投资者对市场状态空间给出的概率测度，称Q为风险中性概率测度，资产定价第一基本定理可写为： 市场无套

5、利 市场存在风险中性概率测度,2市场的完全性与未定权益的定价 称 上的随机变量为未定权益。以下假定市场存在无风险收益率r。称一个未定权益X是可复制的，如果存在一个由无风险资产和基础风险资产的组合，使得该组合l时刻的收益与X相同。由于无风险资产和基础风险资产都有期初价格，因此可复制的未定权益是可定价的。如果所有的未定权益都是可复制的，则称市场是完全的。 对单期市场模型，选取独立的n个未定权益 。市场完全意味着对任意的 都存在复制策略 ，成立： 这等价于 且矩阵D的秩等于n。从而有如下结论： 单期市场模型是完全的 且矩阵D 的秩等于n 如果不同的复制策略 的期初成本不等，不妨设 则 是一个套利组合

6、，这与市场无套利的假设矛盾。因此未定权益有唯一的期初价格。由于未定权益的全体就是 上随机变量构成的线性空间，因此对任意的风险中性概率测度Q和Q，都有,由于在无套利市场中无风险收益率r是唯一的，所以 。也即证明了如下的定理： 资产定价第二基本定理：完全的无套利市场存在唯一的风险中性概率测度。 资产第一和第二基本定理是资产定价理论的基础，它提供了一个市场的框架（完全、无套利）；在这一框架下，资产的期初价格是存在且唯一的。 假定市场是完全且无套利的，此时任意的未定权益X的价格为： 借助条件期望的概念和性质，可以将上式推广到多期和连续的情形，其表达式分别为： 这两个等式中贴现的未定权益的价格过程是一个

7、Q鞅，因此Q也称为等价鞅测度（“等价”的含义是Q与客观概率测度P等价）。,9.2 二叉树模型 1单期二叉树模型 在单期二叉树模型中市场仅存在两个基础资产：无风险资产和基础风险资产。1时刻的 分别代表l时刻基础风险资产的价格上升和下降的比例，且 。假设无风险收益率r满足： 显然，当二叉树模型无套利时，上式一定成立。 （1）基础风险资产的价格过程 假定基础风险资产是股票，其0、1时刻的价格如图9-1所示。,（2）债券的价格过程 假定市场中无风险债券的收益率为r 。0时刻的面值为1的债券在1时刻的价格为er 。 假设市场上还有一个在0时刻签订的价格为C0、l时刻到期的未定权益（即衍生品），其价值依赖

8、于股票价格的变化：在1时刻，股票价格上升时其价格为Cu，股票价格下降时其价格为Cd 。 一旦确定了衍生品的含义，就可以知道其在1时刻的支付。例如：若未定权益为执行价格为K的看涨期权，则1时刻的支付为：,2单期二叉树模型下衍生品的定价公式 考虑一个股票与债券的资产组合 ，即在0时刻持有 单位的股票和 单位的债券。构建衍生品的复制策略 ，即下面的方程组成立： 解得： 由无套利假设该组合在0时刻的成本即为衍生品在0时刻的价格： (9.1),二叉树模型的性质：首先，由式（9.1）可知二叉树模型是完全的。此外还可以证明在deru的条件下，它也是无套利的。根据资产定价第一基本定理，只需证明存在风险中性概率

9、测度Q即可。将等式 改写为： 由式deru可知， 和 都大于0，且二者之和为1；因此可以定义： 则式（9.1）又可写为： 因此Q为风险中性概率测度，从而市场是无套利的。这样我们证明了式deru等价于市场无套利。因此，deru也被称为无套利条件。,【例题9.1】假设市场存在一种无风险债券和一种股票。股票的初始价格为l，无风险利率为0。在下一个时段末，股票的价格变为2或者0.5。如果一个衍生品规定当股价上升时支付1，股价下降不进行支付。利用单期的二叉树模型计算该衍生品的价格。 解：根据题意可得债券价格、股票价格、衍生品价格的过程如图9-4所示。 其中X代表衍生品1时刻的支付。构建0时刻的复制策略

10、，则 满足： 因此该衍生品的期初价格为：,3多期二叉树模型 在多期二叉树模型中，市场仍然只有两种基础资产：无风险资产和基础风险资产。两个资产可以在每个节点处（见图9-5）进行交易。除此之外，仍假设市场是理想化的。 （1）基础风险资产的价格过程。假定基础风险资产是股票。 假设市场有n+1个可交易的时间点0,1,，j，n股价从i时到i+1时点的变化过程服从单期二叉树模型，即股价过程可以用图9-5描述。,从图9-5可以看出，i时刻有2i种可能的股价。从时刻i-1到时刻i的股价只有两种变化：从节点j开始，下降至节点2j或者上升至节点2j+1。 （2）无风险资产的价格过程 假设第i期的无风险利率为ri，

11、同样时刻到期的衍生品的价格也有种情况，与股价过程有所不同的是，每个ri在 i-1时刻就是已知的，而Si只有在i时刻才是已知的。,（3）多期二叉树模型下衍生品定价 在n期二叉树模型中，n时刻 。每个对应了价格树上的一条路径。当仅考虑0时刻和n时刻时，为保证市场的完全性，须假定市场至少有2n个基础风险资产；当n很大时这个假定过强。 同样这里衍生品的定价原理也是采用复制的方法。并用倒推的方法求解复制资产组合。根据基础资产在n时刻的2n个可能值写出衍生品的2n种可能值。利用单期模型的公式可以计算n-1时刻的2n-1个节点处衍生品的价格。以此类推直到0时刻，即得衍生品的期初价格。在整个过程中，每个节点处

12、都没有资金的注入和撤出。 假设在i-1时的j节点处构建一个资产组合 ，即持有 单位的股票和 单位的无风险资产，则 当股价上升时， 当股价下降时， 解得： 由此可以推出风险中性概率测度下股价上升的概率为： 则衍生品的价格在该节点的价格为：,【例题9.2】已知股票的价格过程满足下列二叉树模型，即图9-7。 已知每个时间区间上的连续复利率均为5，试计算执行价格为45的欧式看涨期权0时刻的价格。 解：根据题中的条件，可以写出衍生品的价格过程图9-8。,首先考虑l时刻到2时刻的时间区间。先计算V（1）。在该节点上风险中性概率测度下股价上升的概率为： 显然V（2）=0。 其次考虑时刻0到时刻1的时间区间。

13、在风险中性概率测度下，股价上升的概率为： 因此0时刻该标准欧式买权的价格为：,CRR模型 Cox-Ross-Rubinstein给出了一种特殊的二叉树模型：股价上升的比例和下降的比例不随时间的变化而变化，如图9-9所示。 此模型下，i时的股价为： 其中Ni是一随机变量，表示0时刻到i时刻股价上升的步数。这就意味着在n时刻股价有n+1种状态而不是之前的2n种。CRR模型假设了衍生品到期时的支付仅仅依赖于股价上升和下降的步数，而不依赖于股价上升或下降的顺序。设到期时衍生品的支付为cn。,Cox，Ross，Rubinstein根据多期二叉树模型推导出了衍生品的一般定价公式，即 其中 cn（i）为衍生

14、品n时刻的价格，且在前面的n期有i次上升。 由于达到cn（i）的每条路径在风险中性概率测度下的概率均为qi（1-q）n-I,其数目为 ，所以将所有的cn（i）乘以 再相加即得EQ（cn），贴现即为c0。,【例题9.3】一个期权价格的二叉树模型如下图： 如果模型中上升、下降的比例不随时间的变化而变化，市场无风险连续复利为5%，则C0值为（ ）。2011年春季真题 A2.06 B2.19 C2.39 D2.58 E2.86 【答案】B 【解析】设标的资产价格上升的概率为q，于是由 得 。于是,9.3 Black-Scholes模型 Black-Scholes是一个连续时间衍生品的定价模型。该模型建立在对市场的下列假设之上： 基础资产不支付红利，且其价格服从几何布朗运动，即基础资产的价格满足随机微分方程： （9.2） 其中 为常数。以下均假设基础资产为股票。 市场是完全的，即所有未定权益都是可复制的。 市场是无套利的。 无风险利率r是一个常数，且任何期限的借贷利率都相等。 可以无限制的卖空。 市场无摩擦，即无税收成本、无交易成本。 基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易。 根据以上的假设可以推导出衍生品价格满足的偏微分方程Black-Scholes微分方程，结合边界条件就可以求出衍生品的价格。,1BlackScholes微