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1、计量经济学,单方程计量经济学模型 理论与方法,第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型,第一节 回归分析概述 第二节 一元线性回归模型的参数估计 第三节 一元线性回归模型的统计检验 第四节 一元线性回归模型的预测,模型估计式检验的必要性,用最小二乘法计算出估计结果以后，也就是 得到了模型估计式以后，需要对模型估计式 进行具体的评估: 1、模型解释变量选择的正确性需要证明； 2、模型函数形式的正确性需要验证； 3、模型估计的可靠性需要评价；,第三节： 一元线性回归模型的统计检验,一、模型的拟合优度检验 ( 检验) 二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验) 三、模型总体的显著性检验
2、 (F 检验) 四、参数的置信区间（参数的区间估计）,一、模型的拟合优度检验,所谓“拟合优度”就是模型对样本数据的拟合程度； 检验方法是构造一个可以表征拟合程度的指标判 定系数又称为样本可决系数； （1）总离差平方和的分解 为了说明可决系数的意义，回顾前面已经讨论过的 样本回归函数，即已知由一组样本观测值 得到一条样本回归直线： 其模型形式： 如果以 的样本均值 为基准，说明 和 对样本 均值 的偏离程度，如下页图所示：,因变量 的离差分解示意图,（1）总离差平方和的分解,的离差 可分解为两部分： 则： 由于： 由前面的正规方程： ； 得到： 所以有：,（1）总离差平方和的分解,推导出这个式子
3、： 其中： 称为总离差平方和或总平方和（TSS: Total Sum of Squares）； 称为回归平方和（ESS：Explained Sum of Squares）； 称为残差平方和（RSS：Residual Sum of Squares）。 这样上式就可写为：,一、模型的拟合优度检验,（2）可决系数 （判定系数 ） 如果将式 两边同除以 ，得： 或者： 我们定义回归平方和 在总离差平 方和 中所占的比重为可决系数（也 称决定系数或判定系数），用 表示，即：,一、模型的拟合优度检验,（2）可决系数 （判定系数 ） 或者： 可决系数 的取值范围是： ； 越大， 越小，模型的拟合优度越高；当
4、 时， ；经济含义： 定量地描述了被解释变 量的变化中可以用解释变量的变化来说明的部分，即 模型的可解释程度。 我们有: (1) ； (2) 越大，越接近于 1，模型的拟合优度越高； (3) ： ，完全拟合，这种情况很少发生； (4) ： ， 与 完全不存在线性关系。,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中 的“假设检验”。 假设检验的基本思想是：是在某种原假设 成立 的条件下，利用适当的统计量和给定的显著性水 平，构造一个小概率事件（小概率事件原理认为： 小概率事件在一次观察中几乎是不可能发生的）， 如果小概率事件在一次观察中发生了，就认为
5、“原假 设 成立”是错误的，从而拒绝原假设 ，接受备 择假设 ；如果该小概率事件没有出现，就没有理 由拒绝原假设 ，这时候应该接受原假设。,概率论知识：,在介绍变量的显著性检验（t 检验）之前，补充一 些概率论的知识： （1）如果随机变量 彼此独立，且服从 N (0, 1) ，则： ； （2）如果 ， ，且它们相互独 立，则： ； （3） 如果 ， ，且它们相互独 立，则：,前面已经介绍过：在 的基本假定的条 件下，参数最小二乘估计量 和 的概率分布表 示为： ； 由于随机误差项的总体方差 未知，用无偏估计量 ( ) 去代替 ，可计算参数估计量 和 的样本标准差： ； 样本标准差 和 是 和
6、标准差的估计 值。,当样本为大样本（n30）时，用标准差的估计值， 即用样本标准差 和 作 和 的标准化变 换可视为标准正态变量，即： ； 当样本为小样本时，最小二乘估计量 的标准化 变换量 并不遵循正态分布，而是服从 t 分布, 可以证明： ，t 分布的自由度 ; 同理，即 。,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),对于一元线性回归模型而言，通常最关心的问题 是解释变量 对被解释变量 是否有显著的影响， 这就需要进行变量的显著性检验。 计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否 为零来进行变量的显著性检验的。 因此，原假设： ，备择假设： 在 成立时，有： 其中 n 为样本观测值数
7、量，2 为一元线性回归解释 变量的数目，包含常数项。如果是多元：,原假设： ，备择假设： 在 成立时，有： 对给定的显著性水平 ，查自由度为 的 t 分布 表，得到临界值 ，如果 ，则 接受原假设 ，即解释变量对被解释变量没 有显著影响，解释变量在统计上是不显著的；如果 或者 ，则拒绝原假设，而接受备择 假设 ，即可以认为解释变量对被解释变量 有显著影响。 对于参数 的显著性检验，可以用完全类似方法 进行。,t 分布的双侧检验,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),例题：在前面的关于家庭收入 X 和家庭消费支出 Y 关系的例 2.3 中，由表 2.2 显示的一组样本数据 已估计出了样
8、本回归函数为： 要对模型中的解释变量进行显著性检验，当原假设 设为 时，取显著性水平 ，查 t 分布 表得到临界值 。计算 t 统计 量值，因为 ，其中 ；且： ； 则 ；,二、变量(参数) 的显著性检验 ( t 检验),所以： 所以拒绝原假设 ，可以认为 显著地不等于0， 也就是说解释变量 对被解释变量 存在显著影响。 同理，对参数 的显著性检验类似，因为 其中： 则： 所以拒绝原假设 ，即认为 也显著地不等于 0 。,Eviews软件输出的回归结果,变量(参数) 的显著性 t 检验的步骤：,第 1 步：针对模型中的解释变量提出原假设 和 备择假设 ；原假设 ，备择假设 第 2 步：构造 t
9、 统计量，并计算 t 统计量的值； 第 3 步：给定显著性水平 ，查 t 分布表确定临 界值 ； 第 4 步：比较 t 统计量的值和临界值的大小，来 给出拒绝或接受原假设 的结论； 如果 或 ，则落入拒绝域，拒绝原假设 如果 ，则在接受域内，接受原假设,三、模型总体的显著性检验 (F 检验),变量显著性 t 检验是检验每一个解释变量对被解 释变量是否有显著影响，因此 t 检验要对每一个回 归系数分别单独进行检验。 模型总体的显著性检验旨在对模型中被解释变量 与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立 作出推断。 t 检验是对单个回归系数的检验，而 F 检验是对方程多个回归系数的联合检验。我们
10、将在 后面多元线性回归部分再详细介绍 F 检验。,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,回归分析希望通过总体的样本所估计出的参数 和 来替代总体真值 和 。我们用最小二乘法求 出来的参数估计值 和 与总体真值之间实际上是 有偏差的。 假设检验可以通过一次抽样得到的参数估计值来 检验总体真值可能的范围，最常用的假设就是检验 总体参数真值是否为 0 ( t 检验)；但它并没有指出参 数估计值 和 到底离总体参数真值有多“近”；也 就是它没有指出参数估计值与总体真值之间的偏差 大小。,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,要判断样本参数估计值离总体真值有多“近”，也就 是说要判断参数估计值在多大程度
11、上可以“近似”地替 代总体参数真值，我们往往需要构造一个以这个参数 估计值 和 为中心的“区间”，来看看这个区间以 多大的可能性（多大的概率保证度）包含着总体参数 真值，也就是说，在多大的概率保证度下，总体真值 处在这个区间内。这种方法就是参数的置信区间估 计。 那么我们如何来构造以参数估计值 和 为中心 的这样的一个区间呢？,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,在变量的显著性检验中，已经知道： 所以对于给定的显著性水平 ，查自由度为 的 t 分布表，得临界值 ；那么 t 统计量值处在 间的概率为 ，表示为： 或： 将 代入上式即：,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,上式整理得： 因此，
12、我们有 地把握说，参数真值 处 在区间： 内； 此区间称为 的置信区间， 称为置信水平（置 信系数、置信度）， 称为显著性水平， 和 分别称为 的下置信限和上置信限。,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,回归参数 的 的置信区间也可以表示 为： 置信区间的长度为 ，主要取决于回归 参数的样本标准差 ； 越小，则置信区间长 度越小，也就是置信区间越狭窄，则参数估计值 与参数真值 越接近。而且在一定的概率 下， 参数估计值 与真值 之间的绝对误差充其量不 会超过 ，即： 同理，对参数 的置信区间也有类似的结果：,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,例题：还是在前面的关于家庭收入 X 和家庭消费
13、 支出 Y 关系的例 2.3 中，根据表 2.2 中的有关样本 数据，用 OLS 法已估计出了样本回归函数为： ，也就是我们得到 了总体回归参数真值 和 的点估计值分别为： ， ；并且在假设检验 ( t 检 验) 中已经得到： ， ； 给定显著性水平 ，查 t 分布表得到临界值 ，所以参数真值 的 置 信水平下的置信区间为：,四、参数的置信区间（参数的区间估计）,即在 的置信水平下，参数 的置信区间为: 即在 的置信水平下（以 的概率保证），居 民的边际消费倾向 处在以估计值 为中心的 区间 中，也就是说居民边际消费倾 向 应该在 与 之间。 同理，可算出参数 的 置信水平下的置信区 间为：
14、即 置信水平下，参数 的置信区间为,第四节：一元线性回归模型的预测,计量经济学模型的一个重要应用是经济预测，这 也是我们建立模型的目的之一。对于一个估计的回 归模型： 如果给定样本以外的解释变量的观测值 ，通过以 上模型我们可以对被解释变量 的值进行预测，预 测的方法主要有点预测和区间预测。 点预测：就是直接将解释变量的特定值 代入到 估计的回归方程中，就可以得到被解释变量的一个 相应预测值 ，即 ；我们可用 作 为被解释变量 的点预测值。 (点预测就是预测被解释变量 为一个确定的值 )；,第四节：一元线性回归模型的预测,区间预测：点预测的方法预测 为一个确定的值 这必然存在着随机误差，而区间预测方法就是预测 在一
