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1、环 境 系 统 分 析,主讲: 潘文斌 博士 2009.9.15,2009.9.15.,第二章 数学模型概述,2.1 数学模型的定义，优点和分类 2.2 数学模型的建立 2.2.1 对模型的基本要求 2.2.2 建立数学模型的过程 2.3 参数估计方法 2.3.1 主要参数估值方法 2.3.2 用Excel进行参数估计 2.4 模型的检验与误差分析 2.5模型灵敏度分析 2.6模型的不确定分析,2009.9.15.,1.1 数学模型的定义,定义:根据观察到的现象，归结成一套反映其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。 广义的数学模型既包括由数学符号组成
2、的数学公式，也包括用框图或文字表达的计算方法和计算过程。 特征：抽象性和局限性,2009.9.15.,1.2 数学模型的优点,1、由于抽象性，其可以进行多变量模拟； 2、参数可变，结构可调，有利于控制优化条件； 3、较实物模型或物理模型具有速度快，费用低的特点； 4、具备更多的模型不确定性的分析功能。,2009.9.15.,1.3 数学模型与实际偏离的原因,1、环境系统是一个开发性的复杂系统，结构和参数均存在一定的不确定性； 2、模型结构与实际系统的差异； 3、模型参数不一定能反映实际系统运动过程中变量的特征；,2009.9.15.,2.1.4 模型的分类,2009.9.15.,2.2.1 对
3、模型的基本要求,1、什么是白箱、灰箱和黑箱。 建立数学模型的信息通常来自两个方面： A、对客观系统的结构和运动规律的认识； B、对系统输入输出数据的观察。 利用A类信息建立模型的方法称为演绎法，通过演绎法建立的模型称为机理模型，亦称为白箱模型；利用B类信息建立的模型的方法称为归纳法，通过归纳法建立的模型称为经验模型或者统计模型，也称黑箱模型。灰箱模型则是介于上述两者之间，通过逻辑推理方法建立其模型结构，然后用输入输出数据确定模型中的参数。,2009.9.15.,2.2.1 对模型的基本要求,基本要求： 1、依据充分； 2、足够的精确度； 3、可操作、实用，存在可控变量。,2009.9.15.,
4、2.2.2 数学模型的建立过程,2009.9.15.,例 十二胺降解实验数据曲线拟合,十二胺降解实验数据如表所示，使用Excel 工作表进行曲线拟合。 十二胺降解实验数据 解：在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数模型，拟合结果如图所示。指数模型又分别指定和不指定是否必须通过初始浓度2.3 mg/L。注意在图中有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式、R2 ，或者需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项页进行操作。,2009.9.15.,例 十二胺降解实验数据曲线拟合,从获得的三个数学模型来看，指数模型 与实验数据拟合的相关系数高达 98.6%（R2=0.9726）,应
5、是较好的选择。,2009.9.15.,2.3.1 主要参数估值方法,一、基于回归拟合的方法 1、图解法 2、一元线性回归 3、多元线性回归 二、基于试验或经验的方法 1、试验法 2、经验公式法,2009.9.15.,2.3.1 主要参数估值方法,三、基于搜索的方法 1、网格法 2、最优化方法 3、随机采样法（基于贝叶斯理论的不确定性参数识别，1、RSA方法 2、GLUE法）,2009.9.15.,最优化方法,1、给定模型 2、目标函数定义为：,3、目标函数初值,2009.9.15.,最优化方法,4、计算步骤,2009.9.15.,最优化方法,4、具体计算步骤 1、设定参数初值和允许迭代误差 2
6、、计算目标函数初值 3、计算目标函数对参数的梯度（数值导数） 4、计算参数的修正步长 5、计算参数的修正值 6、计算新的目标函数值 7、比较新旧目标函数值，如果不合要求继续迭代，至获得满意结果。,2009.9.15.,最优化方法,4、具体计算步骤 3、计算目标函数对参数的梯度（数值导数） 4、计算参数的修正步长,2009.9.15.,最优化方法,4、具体计算步骤 5、计算参数的修正值,2009.9.15.,最优化方法,4、具体计算步骤 6、计算新的目标函数值 7、比较新旧目标函数值，如果不合要求继续迭代，至获得满意结果。,2009.9.15.,2.3.2用最优化方法进行复杂模型的参数估值,使用
7、 Excel电子表格，对于因变量 y 相应于自变量 X（可以是包含多个元素的向量）的试验或观测数据，由经验给定参数的初值开始，计算计算值与观测值之间的误差，用最优化方法进行参数估值，使该参数取值条件下误差的平方和最小。 已知河流平均流速为4.0kmh，饱和溶解氧(DO)为lO.OmgL，河流起点的BOD(L0)浓度为20mgL，沿程的溶解氧()的测定数据如下：,2009.9.15.,在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令。如果“数据分析”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要通过加载宏安装“分析工具库”，与此同时也将“规划求解”安装备用。,2009.9.15.,数据输入,2009.9.15.,2
8、009.9.15.,2.4 模型的检验与误差分析,一、图形表示法 a.结果直观 b.不易比较（定量）,2009.9.15.,2.4 模型的检验与误差分析,二、相关系数法 a.结果直观 b.适用线性程度较高的模型,2009.9.15.,2.4 模型的检验与误差分析,三、相对误差法,相对误差,中值误差概率,中值误差绝对,2009.9.15.,2.5 模型灵敏度分析,一、灵敏度分析的意义 由于环境保护系统是一个开放的系统, 运用数学模型进行模拟时,模型结构和参数都会存在偏差.通过对模型灵敏度分析，可以计算模型计算结果的偏差，又有利于根据需要探讨建立高灵敏度模型或是低灵敏度模型。 X状态变量组成的向量
9、，如大气中二氧化硫浓度；u为决策变量组成的向量，如排放的BOD等；为模型参数变量组成的向量，如大气复氧系数ka等。,目标函数 约束条件,2009.9.15.,2.5 模型灵敏度分析,一、灵敏度分析的意义 在环境保护系统中，主要研究两种灵敏度： 1、状态与目标对参数的灵敏度，即研究参数的变化对状态变量和目标值产生的影响； 2、目标对状态的灵敏度，即研究由于状态变量的变化对目标值的影响。,2009.9.15.,2.5 模型灵敏度分析,一、状态与目标对参数的灵敏度 定义：在 0附近，状态变量x（或目标Z）对于原值x*或者Z*的变化率和参数相对于0的变化率的比值称为状态变量（或目标）对参数的灵敏度。
10、1、单变量时的灵敏度,2009.9.15.,2.5 模型灵敏度分析,一、状态与目标对参数的灵敏度 1、单变量时的灵敏度,状态对参数的灵敏度,目标对参数的灵敏度,2009.9.15.,2.5 模型灵敏度分析,一、状态与目标对参数的灵敏度 1、单变量时的灵敏度,当,时，可以忽略高阶微分项，得：,和,分别是状态变量和目标函数对参数的一阶灵敏度系数。,2009.9.15.,2.5 模型灵敏度分析,一、状态与目标对参数的灵敏度 1、单变量时的灵敏度案例,2009.9.15.,1、单变量时的灵敏度案例,2009.9.15.,2、多变量时的灵敏度,2009.9.15.,2、多变量时的灵敏度,2009.9.1
11、5.,三、目标对约束的灵敏度,2009.9.15.,三、目标对约束的灵敏度,2009.9.15.,三、目标对约束的灵敏度,2009.9.15.,三、目标对约束的灵敏度 案例,2009.9.15.,三、目标对约束的灵敏度 案例解答,2009.9.15.,练习,已知污水处理费用函数为C260Q0.78（元），式中Q为污水的处理规模（m3/d），若已知污水量的估计偏差在6，求费用估计的偏差。,2009.9.15.,解答,2009.9.15.,2.6模型的不确定分析,不确定性分析，通俗而言就是误差分析；分析由于系统外部输入的不确定性和环境机理认识的不确定性导致的模型结构 不确定性、参数识别不确定性和预测未来的不确定性。 不确定性的分类： 1、环境系统的随机性和不可预见性 2、数据不确定性 3、模型的不确定性,2009.9.15.,2.6模型的不确定分析,不确定性分析方法 1、传统的一阶算法 2、贝叶斯推理法 3、马尔科夫链蒙特卡罗法,2009.9.15.,谢谢各位! 请提宝贵意见.,
