套利定价理论课件

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1、第12章 因子模型和套利定价理论（APT）,系统风险与非系统风险 单因子模型 多因子模型 套利和套利定价,1. 系统风险与非系统风险,经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司 商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳动和原材料的成本、通货膨胀率 这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化,例子：市场模型 这里 =在给定的时间区间，证券 i的回报率 =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率 =截矩项 =斜率项 =公司特有风险，满足,例如：i 为海尔股票，j 为五粮液股票，I 为上证指数 海尔公司股票方差可以分解为 = 系统风险 +非系统风险 = 不可分散风险 +可分散风险

2、= 市场风险 + 单一或者是企业个别风险,注意：市场模型与SML的区别 市场模型是统计模型， SML是理论结果 市场模型描述实现回报率， SML描述期望回报率 市场模型可以分解为期望部分与非期望部分,例子：Flyer公司股票的下一个月回报率 这里 表示实际月回报率 表示期望回报率 表示回报率的非期望部分,期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得的关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。 回报率的非期望部分由下一个月内显示的信息导致,这里 由于系统原因导致的回报率的非期望部分 由于非系统原因导致的回报率的非期望部分,定义1：因子模型（或者指标模型）是

3、一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。,由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。,作为一种回报率产生过程，因子模型具有以下几个特点。 第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素。 第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关一起运动仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的。 第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子的运动无关。,因子模型在证券组合管理中的应用 在证券组合选择过程中，

4、减少估计量和计算量 刻画证券组合对因子的敏感度,如果假设证券回报率满足因子模型，那么证券分析的基本目标就是，辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度。,2.单因子模型,把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。 例如，国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素。,表12-1 因子模型数据 年份 GDP增长率 A股票回报率 1 5.7% 14.3% 2 6.4 19.2 3 7.9 23.4 4 7.0 15.6 5 5.1 9.2 6 2.9 13.0,4%,图12-1中，横轴表示GDP的增长率，纵

5、轴表示证券A的回报率。图上的每一点表示表12-1中，在给定的年份，A的回报率与GDP增长率的关系。通过线性回归分析，我们得到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关系。GDP增长率越大，A的回报率越高。,写成方程的形式，A的回报率与GDP增长率之间的关系可以表示如下 这里 =A在 t 时的回报率, =GDP在 t 时的增长率, =A在 t 时的回报率的特有部分, =A对GDP的增长率的敏感度, =有关GDP的零因子。,在图12-1中，零因子是4%，这是GDP的增长率为零时，A的回报率。A的回报率对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这个值表明，高

6、的GDP的增长率一定伴随着高的A的回报率。如果GDP的增长率是5%，则A的回报率为14%。如果GDP的增长率增加1%为6%时，则A的回报率增加2%，或者为16%。,在这个例子里，第六年的GDP的增长率为2.9%，A的实际回报率是13%。因此，A的回报率的特有部分（由 给出）为3.2%。给定GNP的增长率为2.9%，从A的实际回报率13%中减去A的期望回报率9.8%，就得到A的回报率的特有部分3.2%。,从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三种成份： 1在任何一期都相同的部分（ ） 2依赖于GDP的增长率，每一期都不相同的部分（ ） 3属于特定一期的特殊部分（ ）。,通过分析上面这个例

7、子，可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间 t 的任何证券 i 有,这里， 是因子在时间 t 的因子的值，对在时间 t 的所有的证券而言，它是相同的。 是证券 i对因子 的敏感度，对证券 i 而言， 不随时间的变化而变化。 是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为 ，且与因子 无关的随机变量，我们以后简称为随机项。,为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标，从而上式变为 并且假设： 1任意证券 i 的随机项 与因子不相关; 2任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。,假设1说明，因子具体取什么值对随机项没有影响。 假设2说明，一种证券的随机

8、项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于因子对它们的共同影响导致的。如果任何假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑不同的因子模型。,对于证券 i 而言，其回报率的均值 这时,对于证券 i 而言，其回报率的方差为 定义式中的 为因子风险； 为非因子风险。 对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为,单因子模型具有两个重要的性质。 第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。 第二个性质与风险的分散化有关。 分散化导致因子风险的平均化。 分散化缩小非因子风险。,3 多因子模型,经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预

9、期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的。,一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响。 1GDP的增长率 2短期国库券的利率水平 3长短期国债的收益率之差 4. 公司债与国债的收益率之差 5. 通货膨胀率 6. 石油价格 7. 技术进步,3.1两因子模型，即，回报率生成过程包括两个因子。 在 t 时的两因子模型方程为： 这里 和 是影响证券回报率的主要因素， 和 是证券 i 对两因子的敏感度。 是随机项，而 是零因子回报率。,表12-2 因子模型数据 年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率 1 5.

10、7% 1.1% 14.3% 2 6.4 4.4 19.2 3 7.9 4.4 23.4 4 7.0 4.6 15.6 5 5.1 6.1 9.2 6 2.9 3.1 13.0,例子,证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B的回报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为,平面在GDP增长率方向的斜率（=2.2）表示证券B的回报率对GDP增长率变化的敏感度。 平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度。 敏感度符号说明，当预期GDP

11、增长率或者通货膨胀率增加时，证券B的回报率相应地增加或者减少。 平面的截距表示B的零因子回报率为5.8%。 B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分。例如，B在第六年的随机项为3%。,和单因子模型一样，我们只考虑一期的模型，所以省掉时间的角标。两因子模型方程如下： 并且假设： 1证券的随机项与因子不相关， 2证券i 与证券 j 的随机项 与 不相关。,期望回报率 方差 协方差,两因子模型具有单因子模型的重要性质。 1有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少。 2分散化导致因子风险的平均化。 3分散化缩小非因子风险。,3.2 多因子模型 一般形式 不同形式 其中,4 套利机会 何谓套

12、利机会？最简单的说法是，不花钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型的套利机会。 如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会。 如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，我们称这种投资为第二类的套利机会。,任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。所以我们假设市场上不存在任何套利机会。 套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。 每个投资者都会充分利用套利机会 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会,近似

13、的套利机会（almost arbitrage)：风险性质类似得证券组合，其价格、回报率也应该接近。在因子模型这一框架中，因子敏感度相等时，除非因子风险外，价格、回报率行为应该一致，否则存在近似套利机会。,假设1：市场是完全竞争的、无摩擦的。 假设2：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。 假设3：所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满足因子模型：,5 套利定价理论(APT),这里， =证券 i 的随机回报率， =证券 i 对第 j 个因子的敏感度， =均值为零的第 j 个因子， =证券 i 的随机项。,假设4： ， 与所有因子不相关且 假设

14、5：市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k 。,因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合，除非因子风险外，其行为是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率（或者说价格）是一样的。否则，就存在几乎的套利机会，投资者就会利用它们，直到消除这些套利机会。这就是APT的实质。,定义：如果一个证券组合满足下列三个条件： 1初始成本为零； 2对因子的敏感度为零： 3期望回报率为正。 我们称这种证券组合为套利证券组合。,注：严格的说，套利证券组合应该具有零的非因子风险。但是，APT假设通过分散化，这种风险非常小，以至可以忽略。,5.1例子：（单因子模型）假如市场上存在三

15、种股票，每个投资者都认为它们满足因子模型，且具有以下的期望回报率和敏感度： i 股票1 15% 0.9 股票2 21% 3.0 股票3 12% 1.8,假设某投资者投资在每种股票上的财富为4000元，投资者现在总的投资财富为12000元。,首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。 显然，一个套利证券组合 是下面三个方程的解： 初始成本为零： 对因子的敏感度为零： 期望回报率为正：,满足这三个条件的解有无穷多个。例如，=(0.1,0.075,0.175)就是一个套利证券组合。 这时候，投资者如何调整自己的初始财富12000元,对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要成本，没有因子风险，却具有正的期望回报率。,在上面的例子，因为(0.1,0.075,0.175)是一个套利证券组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地，也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增加，证券1和2