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1、主题三 函数的图象和性质,目录,典例1,类型一 一次函数的图象和性质,P135考题2拓展(2013河北23，10分)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单位长度的速度向上移动，且过点 P 的直线 l：yxb也随之移动，设移动时间为 t 秒 (1)当t3时，求 l 的解析式； (2)若点 M，N 位于 l 的异侧， 确定 t 的取值范围； (3)直接写出 t 为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在坐 标轴上,【答案】解：(1)直线 yxb交 y轴于点 P (0，b)， 由题意，得 b0，t 0，b1t. 当 t3时，b4，故 yx4.
2、 (2)当直线 yxb过点 M (3，2)时， 23b，解得 b5，51t，解得 t4. 当直线 yxb过点 N(4，4)时， 44b，解得 b8，81t，解得 t7. 故若点 M，N 位于 l 的异侧，则 t 的取值范围是： 4t7. (3)当 t1时，落在y轴上；当t2时，落在 x轴上,【寻考法】本题通过动点动线的呈现方式，有效考查了一次函数的图象和性质，特别是将轴对称与一次函数的图象结合考查，题目设计新颖，突出基础又不乏灵活，难度中等,【探解法】本题是动线型问题，难点在于 第(3)问，如图，过点 M 作 MF 直线 l，交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 E，则点 E、F 为点 M 在坐
3、标轴上的对称点过 点 M 作 MDx 轴于点 D.,则OD3，MD2.易得MEDOEF45， 则MDE与OEF 均为等腰直角三角形， DEMD2，OFOEODDE321， E(1，0)，F(0，1)M(3，2)，F(0，1)， 线段 MF的中点坐标为 直线 yxb过点 ，则 ， 解得b2，21t，解得 t1.M(3，2)，E(1，0)， 线段ME的中点坐标为 (2，1) 直线 yxb过点(2，1)，则12b， 解得b3，31t，解得 t2. 故点 M 关于 l 的对称点，当 t1时，落在 y 轴上； 当 t2时，落在 x 轴上,(2)如图 ，A是函数y x图象上异于原点O的任意一点，经过 T
4、变换后得到点 B. 求经过点O，B的直线的解析式； 直线AB交 y 轴于点 D，求OAB 的面积与OAD的面积之比 提示：设 E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则EF ,【答案】解：(2)A是y x图象上异于原点O的任意一点， 可设 A ， B , 设直线OB的解析式为 y kx， 则 tk t，解得k ， 经过点O，B的直线的解析式为,设直线AB的解析式为 ykxb， 把A，B的坐标分别代入可得 直线AB的解析式为 ， D ,易得 ， ,【解析】本题将一次函数的图象和性质与基本的几何知识结合考查，其中理解题目中新定义T变换是解题的关键对于(1)，连接CQ可知PCQ为等边三角形，过Q作QE
5、PC，利用等边三角形的性质可求得Q点的坐标，再利用P、Q坐标之间的关系可求得M点的坐标；对于(2)，可设A ，利用T 变换可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线OB的解析式；由待定系数法可求得直线AB的解析式，由此可求得OAB的面积与OAD的面积之比,【答案】解：(1)设直线DE的解析式为ykxb， 点D，E的坐标分别为(0，3)，(6，0)， 解得 k ，b3；y x3. 点M在AB边上，B(4，2)， 而四边形OABC是矩形， 点M的纵坐标为 2. 又点M在直线 y x3上， 2 x3. x2.M(2，2),【寻考法】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，难度稍大，综合性比较强，同时考查
6、了有关矩形的知识尤其是抓住函数解析式中的系数来研究函数的图象和性质，突出对数形结合思想、函数模型思想和待定系数法的考查,【探解法】本题特别需注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上,对于(1)，利用待定系数法即可求出直线DE的解析式，易得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标； 对于(2)，利用点M的坐标求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可； 对于(3)，当反比例函数y (x0)的图象通过点M(2，2)，N(4，1)时m的值最小，所以2 ，所以m的值最小为4；当反比例
7、函数y (x0)的图象通过点B(4，2)时m的值最大，所以2 ，所以m的值最大为8，所以4m8.,【答案】解：(1)将A(3，m)的坐标代入yx2， 得m321，A(3，1)， 将A(3，1)的坐标代入y ， 得k313. (2)PMPN.理由如下：当n1时，P(1，1)， 将y1代入yx2，得x3， M(3，1)，PM2， 将x1代入y ，得y3，N(1，3)， PN2，PMPN. 0n1或n3.,【解析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数的解析式对于(1)，将A点坐标代入yx2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值对于(2)，
8、当n1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；由题意可知：P的坐标为(n，n)，由于PNPM，从而可知PN2，可求出n的取值范围,【答案】解：(1)把点B(2，1)的坐标代入y(xh)21，得1(2h)21.解得h2. 则该函数解析式为y(x2)21(或yx24x3) 故抛物线l的对称轴为直线x2，顶点坐标是(2，1). (2)点C的横坐标为0，则yCh21. 当h0时，yC有最大值1， 此时，抛物线l为yx21，对称轴为y轴，开口方向向下， 所以当x0时，y随x的增大而减小， 所以当x1x20时，y1y2.,【寻考法】本题以二次函数的图象和性质为主要考点，涉及待定系数法、二次函
9、数图象上点的坐标特征、二次函数的顶点坐标等知识点，其本质是隐含在抛物线平移过程中的有关数与形的变化规律，该题综合性比较强，难度较大，尤其对学生的数形结合能力和函数建模能力要求较高,【探解法】该类问题要注意二次函数解析式中的系数与抛物线的平移运动之间的关系，突出利用抛物线的轴对称性解决问题对于(1)，把点B的坐标代入函数解析式即可求得h的值，再求得对称轴和顶点坐标；对于(2)，把点C的坐标代入函数解析式得到yCh21，可求得yc的最大值，再根据二次函数的增减性来求y1与y2的大小；对于(3)，根据已知条件“O(0，0)，A(5，0)，线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是14”可知线段OA被
10、l只分为两部分的点的坐标分别是(1，0)，(4，0)由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值但需注意对h的值根据题中意义进行取舍，这是该问题最易出错的地方,【寻考法】本题将二次函数的图象与正方形格点相结合，考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的轴对称性等知识和方法，仍然考查了抛物线的隐性平移问题试题立意新颖，形式活泼，难度不大但是思维含量较高，对学生数形结合和几何直观的能力要求较高,对于(3)，分别利用(1)(2)中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数，需要注意(3)抛物线有开口向上和开口向下两种情况 当n为奇数时，如图 (1)所示， 由(1)中的抛物线平移又得到3条抛物线， 当n
11、为偶数时，如图 (2)所示， 由(2)中的抛物线平移又得到3条抛物线 （1） （2）,【拓展】对于抛物线ya2(xb)24(其中a，b为常数，a ) (1)请直接写出该抛物线与y轴的交点坐标； (2)若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出a的取值范围,【答案】解：【探究】(1)当m2时， yx24x(x2)24； 抛物线的顶点坐标为(2，4)； 当y0时，x24x0，解得：x10，x24， 线段MN的长为4.,(2)线段MN的长度不发生改变， 理由：当y0时，x22mxm240， 解得x1m2，x2m2， 线段MN的长为4， 线段MN的长度不发生改变 1m1或3m5. 【拓展】(1)该抛物线
12、与y轴的交点坐标为(0，3) (2)1a 或1a3.,【答案】解:(1)设点P(x，y)，则MPy，由OA的中点为M可知OA2x，代入OAMP12， 得到2xy12，即xy6.kxy6. (2)当t1时，令y0，得0 (x1)(x3)， 解得x1或x3， 点B在点A左边， B(3，0)，A(1，0)AB4， 易得L的对称轴为直线 x1，且M为( ，0)， MP与L的对称轴之间的距离为 .,(3)A(t，0)，B(t4，0)， L的对称轴为直线xt2， 又直线MP的解析式为x ， 当t2 ，即t 4时，顶点(t2，2)就是G的最高点； 当t2 ，即t4时，L与直线MP的交点 就是G的最高点 (4
13、)5 t 8 或7 t 8 .,【寻考法】本题通过抛物线与双曲线的综合命题设计，将二次函数和反比例函数的图象和性质、图象平移等知识结合考查，深刻考查了数形结合思想和函数模型思想，属于函数图象的综合问题，难度较大，对学生分析图象的能力要求较高,【探解法】作为函数图象综合题，有效地利用图象信息解决问题是关键对于(1)，设点P(x，y)，只要求出xy即可解决问题对于(2)，先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题对于(3)，根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧(或对称轴与直线MP重合)时，L的顶点就是最高点，当对称轴在直线MP右侧时，L与MP的交点就是最高点对于(4)，对双
14、曲线，当4x06时，1y0 ，即L与双曲线在C(4， )，D(6，1)之间的一段有个交点,由 (4t)(4t4)，得 t 5或 t 7. 由1 (6t)(6t4)，得t8 或t8 . 随t的逐渐增大，L的位置随着A(t，0)向右平移，如图所示， 当t5时，L右侧过点C. 当t8 7时，L右侧过点D， 即5t8 . 当8 t7时，L右侧离开了点D， 而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍去 当t7时，L左侧过点C. 当t8 时，L左侧过点D，即7t8 . 综上所述，t的取值范围为5t8 或7t8 .,点M是l上任意一点，过点M作MEy轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求点M的坐标 (2)设l与双曲线y有个交点横坐标为x0，且满足3x05，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围,【答案】解：(1)将P (1，4)代入 l 得： (1h)244，解得 h1， 抛物线的解析式为 y(x1)24. 抛物线的对称轴为直线 x1， 顶点坐标为(1，4) 将 x0代入得y3， 点C 的坐标为(0，3) OC3.
