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1、 应用基本不等式的八种变形技巧学生用书 P117 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大， 积定和最小” 但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当 变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种： 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数 f(x)x(x0，所以 f(x)32 4 3x（3x） 31.当且仅当3x，即 x1 时等号成立，所以 f(x)的最大值是 4 3x（3x） 4 3x 1. 【答案】 D 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值 若 x0，y0，且 2x28，求 x的最大值 y2 3 6
2、2y2 点拨 由于已知条件式中有关 x，y 的式子均为平方式，而所求式中 x 是一次的，且 根号下 y 是二次的，因此考虑平方后求其最值 【解】 (x)2x2(62y2)32x233.当且仅当62y2 (1 y2 3)( 2x21y2 3 2 ) 2 ( 9 2) 2 2x21，即 x ，y时，等号成立故 x的最大值为. y2 3 3 2 42 2 62y2 9 2 3 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值 已知 a0，b0 且 ab2，求的最小值 ( 1 a1)( 1 b1) 点拨 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和 的最小值 【解
3、】 由题得 111， ( 1 a1)( 1 b1) 1 ab 1 a 1 b 1 ab ab ab 3 ab 因为 a0，b0，ab2，所以 22，所以 ab1，所以1.所以ab 1 ab ( 1 a1)(1 1 b) 4(当且仅当 ab1 时取等号)，所以的最小值是 4. ( 1 a1)( 1 b1) 变形后使用基本不等式 设 a1，b1，且 ab(ab)1，那么( ) Aab 有最小值 2(1) 2 Bab 有最大值(1)2 2 Cab 有最大值1 2 Dab 有最小值 2(1) 2 【解析】 因为 ab(ab)1，ab()2， ab 2 所以(ab)1，它是关于 ab 的一元二次不等式，
4、 ( ab 2 ) 2 解得 ab2(1)或 ab2(1)(舍去)， 22 所以 ab 有最小值 2(1) 2 又因为 ab(ab)1，ab2， ab 所以 ab21，它是关于的一元二次不等式， abab 解得1 或1(舍去)， ab2ab2 所以 ab32，即 ab 有最小值 32. 22 【答案】 A 形如型函数变形后使用基本不等式 f（x） g（x） 若 y中 f(x)的次数小于 g(x)的次数，可取倒数后求其最值 f（x） g（x） 求函数 y(x1)的值域 （x5）（x2） x1 点拨 将(x5)(x2)用(x1)来表示再变形为 f(x)Ax C 的形式，然后运用基 B x 本不等式
5、求解 【解】 因为 y （x5）（x2） x1 x27x10 x1 x15， （x1）25（x1）4 x1 4 x1 当 x10 时，即 x1 时，y259(当且仅当 x1 时取等号)； （x1） 4 x1 当 x10，y0，求 xy 的最小值 1 x 2 y 【解】 法一：因为 x0，y0，所以 xy(xy)1(xy)3 32 ( 1 x 2 y) y x 2x y 32. y x 2x y 2 当且仅当 ，且 1，即 x1，y2时，上式等号成立故 xy 的最 y x 2x y 1 x 2 y 22 小值是 32. 2 法二：因为 1，所以 x. 1 x 2 y y y2 因为 x0，y0，
6、所以 y20. 所以 xyy y y2 y2y y2 （y2）23（y2）2 y2 y2332 2 y2 2(当y2 2 y2，即y2 2) Error!. 求以形如或可化为 1 型为条件的 cxdy(a，b，c，d 都不为 0)的最值可利用“1” a x b y 的代换求乘法本题中的条件 1 也可化为 2xyxy0. 1 x 2 y 若 a，b 为常数，且 00，1x0.又 1x(1x)，因此可考虑利 用“1”的代换法 【解】 因为 00. 所以11x(1x)x(1x) a2 x b2 1x a2 x b2 1x a2 x b2 1x a2b2a2b22ab(ab)2. a2（1x） x b
7、2x 1x 上式当且仅当时，等号成立 a2（1x） x b2x 1x 所以(ab)2. a2 x b2 1x 故函数 f(x)的最小值为(ab)2. 若实数 a，b 满足 ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值是 _ 点拨 由于所给条件式中含两个变量 a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量， 将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值 【解析】 因为 ab4ab10，所以 b4. 4a1 a1 3 a1 又因为 a1，所以 b0.所以(a1)(b2)ab2ab26a96(a1) 6 a1 15. 6 a1 因为 a10， 所以 6(a1)1521527. 6 a1 6（a1） 6
8、a1 当且仅当 6(a1)(a1)， 6 a1 即 a2 时取等号 【答案】 27 已知条件含形如 axbxycyd0(abc0)型的关系式，求关于 x、y 一次式的和或积 的最值问题常将关系式中 axbxycyd0 变形，用一个变量 x(或 y)表示另一个变量 y(或 x)后求解 代换减元求最值 设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz 的 z xy 最大值为_ 【解析】 x23xy4y2z0zx23xy4y2， 所以 3231. z xy x23xy4y2 xy x y 4y x x y 4y x 等号成立条件为 x2y， 代入到可得 z(2y)232y
9、y4y22y2， 所以 x2y，z2y2， 所以 x2yz2y2y2y2 2(y22y)2(y1)222. 【答案】 2 在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元 的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解 建立求解目标不等式求最值 已知 x，y 均为正实数，且 xyxy3，则 xy 的最小值为_ 【解析】 因为 x，y 均为正实数， 所以 xy2，xyxy3 可化为 xy23， xyxy 即(3)(1)0， xyxy 所以3，xy9， xy 当且仅当 xy 时，xy 取得最小值 9. 【答案】 9 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标 的最值
