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1、学案3 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题,,返回目录,1.二元一次不等式(组)表示平面区域 作二元一次不等式Ax+By+C0(或Ax+By+C0)表示的平面区域的方法步骤: (1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0. (2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C0时,常把 作为此特殊点.,原点,考点分析,返回目录,(3)若Ax0+By0+C0,则包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域. 2.线性规划的有关概念 （1）线性约束条件由条件列出一次不等式（或方程）组. （2）线性目标函数由条件列出一次函数表达式. （3
2、）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.,Ax+By+C0,Ax+By+C0,返回目录,（4）可行解：满足 的解（x，y）. （5）可行域：所有 的集合. （6）最优解：使 取得最大值或最小 值的可行解. 3.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 （1）在平面直角坐标系内作出可行域. （2）作出目标函数的等值线. （3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定 . （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.,最优解,线性约束条件,可行解,目标函数,返回目录,在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组 |x|y| |x|1,考点一 用二
3、元一次不等式（组）表示平面区域,的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图形中的（ ）,题型分析,【分析】将各不等式化为ax+by+c0(或0)或ax+by+c0(或0)的形式，按步骤作出.,返回目录,返回目录,【解析】若0x1,当y0时，要使|y|x|,则yx;当y0时，要使|y|x|,则y-x; 若-1x0,当y0时，要使|y|x|,则y-x;当y0时，要使|y|x|,则yx. 故应选C.,【评析】确定二元一次不等式Ax+By+C0(或0)表示的平面区域程序为：在直线l：Ax+By+C=0的一侧任取一个点P（x0，y0），代入Ax+By+C中，若Ax0+By0+C0,则在直线l的含P点的一侧即
4、为Ax+By+C0所表示的区域；若Ax0+By0+C0,则在直线l的不含P点的一侧即为Ax+By+C0所表示的区域，即“线定界，点定域”.,返回目录,对应演练,设集合A=（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）,返回目录,返回目录,返回目录,A(由于x，y，1-x-y是三角形的三边长， x+y1-x-y x+y , x+1-x-yy x , y+1-x-yx y . 再分别在同一坐标系中作直线x= ，y= ， x+y= ，易知A正确. 故应选A.),故有,y0 yx y2-x txt+1 为S=f(t),试求f(t)的表达式.,返回目录
5、,考点二 平面区域的面积问题,如果由约束条件,所确定的平面区域的面积,返回目录,【分析】画出不等式组表示的平面区域,由平面区域的特点表示面积.,【解析】由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP(如图5-3-1),其面积S=f(t)=SOPD -SAOB S ECD,而SOPD = 12=1,SOAB = t2,SECD = (1-t)2,所以S=f(t)=1- t2- (1-t)2=-t2+t+ .,【评析】 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合有关面积公式求解.,返回目录,返回目录,对应演练,x0 y0 y-x2 表示的平面区域,则
6、当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .,若A为不等式组,返回目录,(在平面直角坐标系内画出不等式组 x0, y0, y-x2， 角形区域（包括边界），其中三个顶点坐标分别是 O（0，0） ， C（-2，0）， B（0，2）. 再画出直 线x+y=-2与x+y=1，记直线x+y=1与y-x=2、y轴的交 点 分别为点D，E，则点D(- ， )，E（0，1）.结合图 形可知，当a从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域是四边形OCDE，因此所求区域的面积等于 22- 1 = .),所表示的平面区域，可以看出是一个三,x1 x-3y-4 3x+5y30 (
7、1)求目标函数z=2x-y的最大值和最小值; (2)求目标函数z=x2+y2+10x+25的最小值; (3)若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个求a的值. (4)求目标函数z= 的取值范围.,考点三 最值问题,已知x,y满足约束条件,返回目录,返回目录,【分析】 (1)由线性规划求出z=2x-y的最大(小)值; (2)z=x2+y2+10x+25表示可行域上一点到(-5,0)的距离平方;(3)z的几何意义是直线y=-ax+z在y轴上的截距；(4)z= 表示可行域上一点(x,y)与(-5,-5)点连线的斜率.,【解析】 (1)作出可行域如图所示:,作直线l:2x-y=0,并平行移动
8、使它过可行域内的B点,此时z有最大值;过可行域内的C点,此时z有最小值, x-3y=-4 3x+5y=30, x=1 3x+5y=30， zmax=25-3=7, zmin=21- =- .,返回目录,解,得B(5,3).,解,得C(1, ).,返回目录,(2)由几何意义,可行域上一点到(-5,0)的最小距离在A处取到. x=1 x-3y=-4 最小距离d= . zmin=d2= ., 由,得A(1, ).,(3)一般情况下,当z取得最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,即直线z=ax+y平行于直线3x+5y=30时,线段BC上的任意一点均使z取得最大值,此时满足条件的点
9、即最优解有无数个. 又kBC=- ,-a=- , a= .,返回目录,(4)z= ，可看作区域内的点（x，y） 与点D（-5，-5）连线的斜率. 由图可知，kBDzkCD, kBD= ， kCD= ， z= 的取值范围为 .,返回目录,返回目录,【评析】线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义， 诸如直线的截距、两点间的距离 （或平方）、点到直线的距离、过已知直线两点的斜率等.,返回目录,对应演练,7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100. （1） 的取值范围； （2）x2+y2的最大值和最小值.,已知x,y满足条件,求：,返回目录,(1)如图所示，ABC区域为不等式组
10、7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100, 其中A（4，1）,B（-1，-6）,C（-3，2）. 可 以理解为区域内的点与点D（-4，-7）连线的斜率.由图 可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角.连 线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角. kDB= ，kCD=9 ， 的取值范围 .,表示的平面区域，,(2)设u=x2+y2，则 为点（x，y）到原点的距离. 结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点的 距离最大，而当点（x，y）在原点时，距离最小且为 0.umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0.,返回目录,返回目录,预算用2 000元购买单价为50元
11、的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？,【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际 问题属于直线方程的一个应用.本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解.,考点四 线性规划的应用,返回目录,【解析】设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组， 50x+20y2 000, yx, y1.5x， x0， y0. 50x+20y=2 000， x= ， y=x， y= .,解得,由,即约束条件为,A点的坐标为( ， ) . 50x+20y=2 000, x=25, y
12、=1.5x, y= . B点的坐标为(25, ). 满足约束条件的可行域是以,返回目录,由,解得,A( ),B(25, ),O(0,0)为顶点的三角形区域(如图5-3-3).,由图形直观可知,目标函数z=x+y在可行域内的最 优解为(25, ),但注意到xN*,yN*,故取y=37. 故买桌子25张,椅子37张是最好选择.,返回目录,返回目录,【评析】 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件,若从图形直观上得出的最优解不满足题设时,应作出相应地调整,直至满足题设.,对应演练,某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品1t需煤9t，电力4 kW，劳力3
13、个（按工作日计算）；生产乙产品1t需煤4t，电力5kW，劳力10个；甲产品每吨7万元，乙产品每吨12万元；但每天用煤量不得超过300t，电力不得超过200kW，劳力只有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富.,返回目录,返回目录,将已知数据列成下表：,设每天生产甲产品xt,乙产品yt,总产值S万元,依题意约束条件为,x15, y15, 9x+4y300, 4x+5y200, 3x+10y300. 目标函数为S=7x+12y.,返回目录,约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边上的点(如图阴影部分).,返回目录,现在要在可
14、行域上找出使S=7x+12y取最大值的点(x,y). 作直线S=7x+12y,随着S取值的变化,得到一束平行直线,其纵截距为 ,可以看出,直线的纵截距越大,S值也越大. 从图中可以看出,当直线S=7x+12y经过点A时,直线的纵截距最大,所以S取最大值.,4x+5y-200=0, 3x+10y-300=0, 故当x=20，y=24时，S最大值 =720+1224=428 (万元). 答：每天生产甲产品20t，乙产品24t，这样既保证 完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元.,返回目录,解方程组,得A(20,24).,返回目录,1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数. 2.可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
