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1、冲刺“985”优等生拔高讲义（教师版本）专治学霸各种不服不等式版快目录问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题1问题二: 线性规划中的参数问题25问题三: 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题49问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏
2、惧心理本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨1 不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法下面我就以近几年高考试题为例加以剖析11 函数性质法一、一次函数单调性法给定一次函数，若
3、在内恒有，则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成同理，若在内恒有，则有图1（1）例1若不等式对满足的所有都成立，求的范围【分析】我们可以用改变主元的办法，将视为主变元，即将元不等式化为： 来求解【解析】我们可以用改变主元的办法，将视为主变元，即将元不等式化为：，令，则时，恒成立，只需，即，解这个不等式组得的范围是【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果二、二次函数利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立来源:Zxxk.Com（
4、2）当时，上恒成立上恒成立例2已知不等式对任意实数恒成立则取值范围是（）A B C D【分析】由不等式对任意实数恒成立，知或由此能求出的取值范围【解析】不等式对任意实数，或解得【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化例3已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 （ ）A B C D来源:Zxxk.Com【分析】与的函数类型，直接受参数的影响，首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题【解析】当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意（如图2）；当时，在上递减且只在上恒成立
5、，而是一个开口向下且恒过定点的二次函数，显然不满足题意（如图3）；当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个为正数，则只需在上恒成立（如图4），则有或，解得或综上可得即故选B图21xyO1xyO 图3图41O xy【点评】该题考查一次函数、二次函数的单调性，考查不等式的求解，考查分类讨论思想三、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）例4（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中，为常数（1）试确定，的值； （2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒
6、成立，求的取值范围【分析】恒成立，即 ，要解决此题关键是求 ，【解析】（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值要使恒成立，只需即，从而 解得或，的取值范围为例5.（08天津文21）设函数，其中（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围（节选）【分析】，即，要解决此题关键是求例6.（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围（节选）【分析】利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围【解析】（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值，则由题意得即解得，【点评】以上三题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数
7、的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点12 分离参数法极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或) ，得的取值范围适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出例7.（2013新课标卷理11）已知函数，若|，则的取值范围是. . .-2,1 .-2,0【解析】由|得，
8、且，由可得，则-2，排除，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.【点评】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题例8.（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【解析】当时，由得令，则易知在上是减函数，时，则例9.（09年山东卷文21）已知函数，其中（1）当满足什么条件时，取得极值?（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围来源:学,科,网【分析】此题虽有三个变量，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，可以将看成一个已知数，对和进行离参例10（2010天津高考理16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【解析】依据题意得在上恒
9、定成立，即在上恒成立当时函数取得最小值，即，解得或13 主参换位反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果例11.（07辽宁卷文科22)已知函数，且对任意的实数 均有，() 求函数的解析式；()若对任意的，恒有，求的取值范围【解析】() ，而，恒成立则由二次函数性质得 ，解得， （）令，则 即由于，则有 解得 的
10、取值范围为例12(08安徽文科20)已知函数，其中为实数（）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围（节选）【分析】已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解【解析】由题设知“对都成立，即对都成立设（），则是一个以为自变量的一次函数恒成立，则对，为上的单调递增函数 对，恒成立的充分必要条件是，于是的取值范围是14 数形结合直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷例13. (07安徽理科3)若对任意，不等式恒成
11、立，则实数的取值范围是（ ）(A) (B) (C) （D） 【解析】对，不等式恒成立，则由一次函数性质及图像知，即例14.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围【解析】由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和的图像，观察两函数图像，当时，若函数的图像显然在函数图像的下方，不成立；当时，由图可知，的图像必须过点或在这个点的上方，则， ，综上得：例15若不等式对于任意都成立，求的取值范围【解析】作出函数的图像，由题意知 在(0， 上，函数的图像总在函数的图像的上方，作直线=，与和的图像分别交于A、B两点，为保证在区间（0，上的图像在图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方，当=时， 又，得0,所以在上是增函数，由此可求得的值域是0，所以实数的取值范围是0，. 解析：据题意：若存在，使得,即有解，故h(x)，由知h（x）=，于是得解析：对任意，恒有，即时恒成立，即，由可知0.解析：由
