辐射探测中的统计学

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1、核辐射物理及探测学 第七章 辐射测量过程中的统计学,2/98,“随机性”是核辐射测量的本质属性，辐射测量中涉及到的各种现象都是随机的：,为什么要讨论统计规律？,3/98,过程的随机性,每次测量得到的结果都是有同有异的,在同样的测量条件下，不同次的测量结果之间存在的差异，称之为统计涨落fluctuation。 统计涨落是辐射测量过程中的内在属性，是无法消除的。 统计涨落决定了辐射测量过程精度的极限，实际的精度只能比这个精度差（因为还要再考虑其它客观因素的影响）,研究统计规律的意义：,探测装置是否正常？ 不同次测量，结果过分不一致，仪器可能不稳定 不同次测量，结果过分一致，也有问题,“猜测”！ 如

2、何理解测量结果单次测量结果提供了什么信息？ 如何确定实验条件，例如：为了测源的活度，测量时间应为多久？,4/98,辐射测量过程中的统计规律,7.1 概率论基础知识 7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布 7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布 7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落 7.5 辐射粒子与信号的时间分布 7.6 计数统计误差的传递 7.7 测量数据的检验,5/98,7.1 概率论基础知识,一些基本概念 分布函数与数字表征 几种典型的概率分布 随机变量的运算与组合,6/98,一. 一些基本概念：随机事件、概率和随机变量,随机试验：一定条件下的每次观测。,随机事件：随机试验的各种

3、结果。,随机变量：代表随机事件的数量。,样本：由N次测量中随机变量的取值构成：,7/98,概率,实验的平均值：,概率：,描述在某种随机试验中的各个随机事件出现的可能性,8/98,随机变量,随机变量可以分为两类：,离散型随机变量： 可取值是有限个或“可列个”分立的数值。 该类型随机变量用表示，其可取值用xi表示。,连续型随机变量： 可取值是整个数轴或某一区间内的所有数值。连续型随机变量及其可取值则用X和x表示。,9/98,二. 随机变量的分布函数与数字表征,10/98,数字表征,随机变量有两个重要的数字表征： 数学期望 方差,数学期望： E()或E(X)，简称为期望，又称为平均值、均值。描述的是

4、随机变量的平均值。,对于离散型随机变量，其数学期望的定义为：,对于连续型随机变量X，其数学期望的定义为：,11/98,算术平均值： 将若干次实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到的平均值成为算术平均值。,算术平均值数学期望： 当实验次数无限增加时，算术平均值将无限的接近数学期望。,12/98,方差、均方根偏差,方差： D()或D(X)，描述的是随机变量偏离其均值的程度。,在应用中引入与随机变量具有相同量纲的量，它是方差的平方根，称为标准差、均方根偏差，记作：,对于离散随机变量，其方差D()为：,对于连续型随机变量X，其方差D(X)为：,13/98,相对均方偏差,相对均方偏差

5、在实用中，我们会经常用到相对均方偏差（与以后将要学习到的能量分辨率有关），也称为相对均方涨落。,相对均方偏差：,相对均方根偏差：,方差反映的是随机变量在绝对意义上的分布离散程度。 相对方差反映的是随机变量在相对意义上的分布离散程度。,14/98,相对均方根偏差(示例),期望值： 400 实测平均值： 401.16 均方根偏差： 20.68 相对均方根偏差：5.17%,期望值： 100 实测平均值： 100.54 均方根偏差： 9.66 相对均方根偏差：9.66%,哪个结果更精确,15/98,一些相似概念的区分,偏差(deviation)和残差(residual),偏差,残差,当真值未知的情况下

6、，一般以残差代替偏差。,16/98,准确度与精密度,准确度(accuracy) 测量值与被测对象真值的一致程度。 可用测量值的平均值与真值的差来描述。,精密度(precision) 测量的可重复性或可靠性。 可用测量的均方偏差来描述。,2008北京：4.4环,17/98,系统误差与偶然误差,系统误差(systematic errors) 由于： 仪器本身的不准确 或实验方法粗略 或实验原理不完善 而导致的测量值与实际值之间的误差。 系统误差难于发现。 无法通过统计的方法来进行分析，因为所有的数据都同时偏大或者偏小。,偶然误差(random errors) 由于各种偶然因素对： 实验者 测量仪器

7、 测量对象 的物理量构成影响而导致的测量误差。 利用大量的实验数据，可以实现对偶然误差的统计分析。 偶然误差可以对通过对大量测量值进行平均的方法来进行削弱。,所有的实验结果都有系统误差和偶然误差的问题!,18/98,系统误差影响测量的准确度,偶然误差影响测量的精密度,19/98,三. 几种常用的概率分布,在本课程中将会遇到的几种概率分布：,二项分布 (Binomial Distribution),泊松分布 (Poisson Distribution),高斯分布 (Gaussian Distribution) 或者称为 正态分布 (Normal Distribution),20/98,伯努力试验

8、,伯努力试验(Bernoulli trial),一次试验，其结果只有两种可能，A和A： 例如： 投掷硬币，正面朝上还是背面朝上？ 新生的婴儿，是男孩还是女孩？ 蚊子在经受杀虫剂后是否会死掉？ 一个原子核在经过时间T之后，是否发生了衰变？ 衰变的概率：p 没有衰变的概率：1-p 将这样的试验重复做N次，如果各次试验的结果互不影响，就得到了N重伯努力试验。,21/98,伯努力试验、二项分布,N重伯努力试验：,数学期望：,t=T,1,2,3,x-1,x,p,方差：,当p很小时，方差：,x的取值范围为：,x=n的概率为：,若每个原子核在T时间后发生衰变的概率为p 以x表示在T时间后发生衰变的原子核的数

9、目，则：,22/98,二项分布、泊松分布,若N很大(100)，p很小(0.01)时：,二项分布泊松分布,二项分布的期望值,23/98,泊松分布,泊松分布,只有一个参数，即数学期望值m,方差：m,均方根偏差：,不同期望值的泊松分布,24/98,高斯分布,当m1时,泊松分布可以简化为高斯分布,泊松分布,高斯分布,25/98,例题,源发射粒子的数目服从泊松分布，用泊松分布来做的难处是什么？,26/98,例题,解：所求概率,当K=1,2,3时，相应的概率分别为0.683, 0.955, 0.997,27/98,四. 随机变量的运算与组合,复杂随机变量往往可以分解为由若干简单的随机变量运算、组合而成。,

10、可用已知的简单随机变量的分布函数与数字表征来求复杂随机变量的分布函数和数字表征。,28/98,相互独立随机变量的运算组合,设随机变量Y=f(X1,X2 ,.,Xi ,.,Xn)是若干随机变量X1,X2 ,.,Xi ,.,Xn的函数，其函数的表达形式可以是这些变量的四则运算，也可能是更复杂的函数形式； Y的可取值及其概率分布是受各Xi的可取值和概率分布共同决定的。一般来说，Y的概率分布是比较复杂的；,一些简单情况下Y与Xi的概率分布或数字表征之间的关系：,相互独立的随机变量的和与差的方差是各随机变量的方差的和。,相互独立的随机变量的积的方差并非是各随即变量的方差的积。,相互独立的服从泊松分布的随

11、机变量之,差,不服从,泊松分布,服从,和,29/98,示例,30/98,串级（或级联）随机变量,设对应于试验条件组A定义一个随机变量1 对应于另一试验条件组B定义另一随机变量2 且二者相互独立 按以下规则定义一个新的随机变量：,辐射测量中经常会遇到级联、倍增过程的涨落问题 这些问题可以用串级型随机变量的概念及运算规则来处理。,31/98,再按条件组B作1i次试验，实现了随机变量2的1i个可取值；,什么是串级随机变量?,先按条件组A作一次试验，实现了随机变量1的一个可取值1i；,将这些可取值加起来得到一个值i，并将此值定义为一个新的随机变量的一个可取值；,这里，随机变量为随机变量1与2的“串级”

12、随机变量。 1为此串级随机变量的第一级 2为此串级随机变量的第二级,32/98,串级随机变量的特点,(1) 期望值：,(2) 方差：,(3) 相对方差：,重要结论：假如第一级随机变量的数学期望很大，那么就可以忽略第二级随机变量的相对方差对串级随机变量的相对方差的贡献。,33/98,串级随机变量的特点,(4) 由两个伯努利型随机变量1和2串级而成的随机变量 仍是伯努利型随机变量。即 仍是只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。,(5) 由遵守泊松分布的随机变量1与伯努利型随机变量2串级而成的随机变量 仍遵守泊松分布。,若伯努利型随机变量 1 的正结果发生概率为 p1, 2 的正结果发生概率为

13、 p2，则 正结果发生概率为：,设1的平均值为m1,而2的正结果发生概率为p2，则 的平均值为：,34/98,串级随机变量的特点,对N个相互独立的随机变量1 ,2 ,N串级而成的N级串级随机变量，有：,串级随机变量的相对均方偏差主要决定于第一级随机变量的相对误差。（成立条件是什么？）,闪烁体的分辨率，与PMT阳极收集到的电子数NA有关，NA是三级串级变量： 闪烁光子数nph 对每个闪烁光子PMT第一打拿极收集到的电子数T PMT的倍增系数M,7.1 概率论基础知识 7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布 7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布 7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落 7.

14、5 辐射粒子与信号的时间分布 7.6 计数统计误差的传递 7.7 测量数据的检验,36/98,7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布,核衰变数的涨落 放射性测量的统计误差,37/98,一.核衰变数的涨落,放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规律为：,在0t 时间内，原来N0个放射性核中，发生了衰变的核的平均数为：,当N0很大时，对一个核而言，它在0t 时间内发生衰变的概率为：,38/98,每一个放射性原子核在时间t内发生衰变是一个概率事件。,是伯努力事件!,发生衰变的概率：,不发生衰变的概率：,N0个原子核，彼此之间相互独立，则发生的衰变是N0重伯努力事件，总衰变原子核数N服从二项分布。,39

15、/98,例如137Cs源：半衰期为30.17年,在有限的时间 t（秒、分、小时、天）范围内，满足二项分布泊松分布的两个条件： p很小：0.01 N0很大：100,所以，在 t 时间内发生的总衰变数N服从泊松分布！,对于长寿命核素构成的放射源,衰变常数很小,总原子核数目很大,40/98,总衰变数N服从泊松分布：,N的期望值：,N的方差：,泊松分布： “期望值”=“方差”,当总衰变数N较大时，泊松分布高斯分布 源的活度较大，即N0较大 时间t延长,41/98,二.放射性测量的统计误差,放射性核衰变具有统计分布,探测器输出计数的统计分布 辐射探测数据的统计误差,射线与物质相互作用过程的随机性,42/

16、98,探测器输出脉冲数的统计分布,脉冲探测器的特点： 输出脉冲数 t时间内射入探测器的粒子数 放射源在t时间内发射出的总粒子数,脉冲计数器的测量过程可以划分为三个基本过程,n3为一个三级串级型随机变量。,源的发射粒子数n1： 0t时间段内，n1服从泊松分布,进入探测器的粒子数n2： n2亦服从泊松分布,被探测器测到的粒子数n3： n3服从泊松分布,若源非各向同性，结论依然成立，只是立体角因子要做修正,43/98,结论： 放射源在t 时间内发射的粒子数n1 遵守泊松分布 探测器相应的输出脉冲数n3也遵守泊松分布 探测器输出脉冲数的平均值为源发射的平均粒子数与几何因子及探测器效率之积 如果源非各向同性，上述结论仍然成立，只是立体角（几何）因子需要进行调整,探