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1、2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,1/60,第2章 一元线性回归模型,一、模型的建立及其假定条件 二、一元线性回归模型的参数估计 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验 六、预测,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,2/60,一、回归分析的基本概念,1. 变量间的相互关系 （1）确定性关系或函数关系：研究的是变量间的确定的函数关系。,（2）统计依赖或相关关系：研究的是变量间的统计相关关系。,2.1 模型的建立及其假定条件,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,3/60,对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(c
2、otion analysis)或回归分析(regression analysis)来完成的,2、相关分析与回归分析,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,4/60,注意 不线性相关并不意味着不相关。 有相关关系并不意味着一定有因果关系。 回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。 相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,5/60,回归分析
3、(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的理论和计算方法。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable）。 解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。,回归分析概念,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,6/60,回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括： （1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程； （2）对回归方程
4、、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,7/60,二、总体回归函数,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,8/60,例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的1
5、0组，以分析每一收入组的家庭消费支出。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,9/60,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,10/60,由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同； 但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：E(Y
6、|X=Xi)。 该例中：,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,11/60,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,12/60,由对全体居民的收入和支出的调查结果，我们知道处于不同收入阶层的居民有一个平均的支出水平，这一支出水平与收入大致呈线性关系。,描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。,概念：在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regressio
7、n curve）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,13/60,称为总体回归函数（population regression function, PRF）。,总体回归结对应的函数：,回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。,函数形式：可以是线性或非线性的。,例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:,为线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,14/60,三、随机误差项,总体回归函数说明在给定的收入水平
8、Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。 称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,15/60,例2.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；（2）其他随机或非确定性（nonsyste
9、matic)部分i。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,16/60,称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。 表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,17/60,随机误差项主要包括下列因素： 在回归模型中被省略的因素的影响； 经济变量之间的合并误差 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,18/60,四、样本回归函数（SRF）,
10、问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？,回答：能,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,19/60,该样本的散点图（scatter diagram)：,画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sample regression lines）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,20/60,记样本回归线的函数形式为：,称为样本回归函数（sample regression
11、 function，SRF）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,21/60,样本回归函数的随机形式（样本回归模型）,同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：,由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,22/60,回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。,即，根据,估计,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,23/60,总体回归模型,样本回归模型,回归模型类类型,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易
12、学院-张文爱,24/60,一、基本假定 1、零均值。随机扰动项ui的均值为零。即， E(ui|Xi)=0 2、同方差。随机扰动项ui的方差相等。即 Var(ui|Xi)=E(ui-E(ui)|Xi2 =E(ui2|Xi2 = 2 3、无自相关。各个扰动项无自相关。即：,考虑回归模型：,2.2 一元线性回归模型的参数估计,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,25/60,4、随机扰动项ui解释变量Xi不相关。即 Cov（ui，Xi）=Eui-EuiXi-EXi=0 i=1，2，n 5、ui服从正态分布，即 uiN（0， 2 ），i=1，2，n 上述基本假设也叫线性回归模型的经典假
13、设或高斯（Gauss）假设； 满足上述基本假设的模型称为经典线性回归模型 （classical linear regression model, CLRM ) 注：“假设”只是为了运用；并非不满足假设就不能估计！,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,26/60,二、参数的普通最小二乘估计（OLS）,给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：残差平方和最小,对于,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,27/60,方程组（*）
14、称为正规方程组（normal equations）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,28/60,记,上述参数估计量可以写成：,称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,29/60,几个常用结果,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,30/60,当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计
15、性质。,一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性： （1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；,.3 最小二乘估计量的性质,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,31/60,（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。 这三个准则也称作估计量的小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,32/60,（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的
16、均值序列趋于总体真值； （5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值； （6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。,当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,33/60,高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量,即OLSE是BLUE（Best Linear Unbiased Estimator）。,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,34/60,（1）线性性 ：,一、最小二乘估计量的性质,（2）无偏性：最小二乘估计,的数学期望值分别等于总体回,归系数的值,（3）最小方差性： OLS估计量,在所有线性无偏估计量中，具有最小方差。即,2019/4/21,重庆工商大学经济贸易学院-张文爱,35/60,二、最小二乘估计的方差,2019/4/21,重庆工商大学经
