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1、第四章 非线性模型,一、问题的提出 多元线性回归模型为：,上述模型包括两个方面：Y与解释变量X1，X2，XP之间呈线性关系；Y与参数 之间呈线性关系。 满足上述两个条件的模型称为双线性模型。如果上述条件至少有一不满足称为非线性回归模型。包括：Y与解释变量X线性，但与参数非线性；Y与参数线性，但与解释变量X非线性；Y与解释变量和参数X均非线性。,例如C-D生产函数：,生产函数（TPP）：,消费函数：,多要素生产函数：,Cobb-Douglas生产函数,Cobb-Douglas生产函数测定技术进步速度时，应具备以下条件：仅有资本和劳动两个生产要素，而且它们之间是可以相互替代的；完全竞争的市场条件，
2、资本和劳动都以其边际产品作为报酬；任何时候，资本和劳动都可以得到充分利用；技术进步是中性的，即边际替代率不变 ；规模收益不变(+=1)；生产函数是一次齐次的。 比例报酬（Returns To Scale）：指所有生产投入按同一比例增加后产出的变化率。,二、非线性回归模型的处理 （一）变换法 适用于Y与解释变量非线性，但与参数线性的情形。,其中，f1，f2，fp是X1，X2，XL的非线性函数。 作变换：,1、多项式函数,2、双曲函数,3、对数函数,4、S型曲线（Logistic）,（二）对数法 1、幂函数,2、指数函数,索洛（Solow）余值法测算科技进步贡献,Solow余值法的推广：,、的求法
3、： 利用截面数据进行回归； 利用时间序列数据进行回归； 利用混合数据进行回归； 利用类似地区的、。,（三）Taylor展开法（略）,三、案例分析 例1，皮鞋销售。某市19861991年期间，皮鞋销售量Y（万双）如下表所示，试确定X与Y之间的关系，并预测1992年的皮鞋销售量。 年份 X Y Y 1986 1 5.3 1987 2 7.2 1.9 1988 3 9.6 2.4 1989 4 12.9 3.3 1990 5 17.1 4.2 1991 6 23.2 6.1,解:根据表中数据的走势,可设模型如下:,例2，电器需求量。某种家电19841991需求量Y（万台）如下表所示，试确定Y随年份变
4、化的关系，并预测1992年的需求量.,年份 X Y Y 1984 1 1.3 1985 2 1.5 0.2 1986 3 1.8 0.3 1987 4 2.0 0.2 1988 5 1.9 -0.1 1989 6 2 0.1 1990 7 2.2 0.2 1991 8 2.1 -0.1,3.6 受约束回归 Restricted Regression,一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性,说 明,在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件。例如： 需求函数的0阶齐次性条件 生产函数的1阶齐次性条件 模型施加约束条件后进行回归，称为
5、受约束回归（restricted regression）; 未加任何约束的回归称为无约束回归（unrestricted regression）。,一、模型参数的线性约束,1、参数的线性约束,2、参数线性约束检验,对所考查的具体问题能否施加约束？需进一步进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。 F检验 构造统计量； 检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化。,受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的解释能力。,如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异较小。 可用（RSSR RSSU）的大小来检验约束的真实性。,例3.6.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求实例中，对零阶齐次性检验：,取=5%，查得临界值F0.05(1,18)=4.41 结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。,无约束回归:RSSU=0.017748， kU=3 受约束回归:RSSR=0.017787， KR=2 样本容量n=22， 约束条件个数kU - kR=3-2=1,二、对回归模型增加或减少解释变量,前者可以被看成是后者的受约束回归，通过约束检验决定是否增加变量。,H0：,
