《湖北省荆州中学等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（附解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省荆州中学等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（附解析）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - “荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2019 届高三届高三 2 月联考月联考 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题一、选择题, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. . 1.已知全集,集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：由全集 及 ，求出补集，找出集合 的补集与集合 的交集即可. 详解： ，集合， 又，故选 B. 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关 系转化为元素间的关系，本题实质是求满足
2、属于集合 或不属于集合 的元素的集合. 2.欧拉公式( 是自然对数的底, 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数 的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时, 就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出 答案。 【详解】由题意，则表示的复数在复平 面对应的点为，位于第三象限。 - 2 - 故答案为 C. 【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的
3、化简，考查了转化思想，属于基础题。 3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与 共线,则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图中可知，即可得到答案。 【详解】由图中可知，若向量与 共线,则. 答案为 D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。 4.若数列是公比不为 1 的等比数列,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。 【详解】由题意，则， 设等比数列的公比为 ，则， 故. 故答案为 C. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了定积分的几何意义，考
4、查了逻辑推理能力与计算求解能力，属 于基础题。 - 3 - 5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合正弦函数及符号函数的性质，对四个选项逐个分析即可选出答案。 【详解】取， 对于 A，故 A 不正确； 对于 B，故 B 不正确； 对于 C，故 C 不正确； 对于 D，当时，当时，当时， ，即，故 D 正确。 【点睛】本题考查了正弦函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题。 6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元素a,则函数yxa在 （0,+）上是增函数的概率为（ ） A. B
5、. C. D. 【答案】C 【解析】 - 4 - 执行如图所示的程序框图，可知： 第一次循环：满足，输出； 第二次循环：满足，； 第三次循环：满足， 此时终止循环，所以输出的集合， 所以从集合 中任取一个元素 ，则函数在是增函数的概率为, 故选 C 7.已知函数 的导函数为,的解集为,若的极小值 等于-98,则a的值是（ ） A. - B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 对函数求导，利用二次函数的性质可得到的关系，然后结合的极小值等于-98，可求出的值。 【详解】由题意， 因为的解集为,所以，且， 则， 的极小值为，解得， 故答案为 C. 【点睛】本题考查了函数的导数与极
6、值，考查了二次函数的性质，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能 力，属于中档题。 8.已知的展开式中常数项为,则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. - 5 - 详解：展开式的通项公式为：， 令可得：， 结合题意可得：，即. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则 的取值 不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数
7、是奇函数，可知在上是增函数，从而得到，即，又因为函数在区间 上存在唯一的使得，可得到，结合，可得到，从而 得到，即可选出答案。 【详解】函数在区间上是增函数,又因为是 R R 上奇函数，根据对称性可 知函数在上是增函数,则，解得， 因为，所以， 因为函数在区间上存在唯一的使得, 所以，则，则，解得，只有当时，满足 题意，故，所以只有选项 A 不可能取到。 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了正弦函数的单调性、周期性、最值，考查了学生的逻辑思维能力 与计算求解能力，属于难题。 10.直线与双曲线C：的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若 (a、bR R,O为坐标原点),则下列不
8、等式恒成立的是（ ） - 6 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出A、B两点坐标，利用可以得到 点的坐标，代入双曲线方程可得，然后利用基 本不等式可选出答案。 【详解】双曲线C：的渐近线为，与直线交于，设， 则， 因为，所以， 由于点在双曲线上，故，解得， 则（当且仅当时取“=” ） 。 故答案为 B. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了向量的坐标表示，考查了利用基本不等式求最值，考查了计算 能力，属于中档题。 11.如图，在正方体ABCDABCD中,平面 垂直于对角线AC,且平面 截得正方体的六个表面得到截 面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则
9、（ ） A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值 C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值 【答案】B 【解析】 - 7 - 【分析】 将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体 ， 是以平行平面和为上下底， 每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为 ， ，可求得六边形的周长为与 无关，即周长为定值；当都在对应棱的中点时， 是 正六边形，计算可得面积，当 无限趋近于时， 的面积无限趋近于，从而可知 的面积一 定会发生变化。 【详解】设平面 截得正方体的六个表面得到截面六边形为 ， 与正方体的棱的交点分别为 （如下图） ， 将
10、正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体 ， 是以平行平面和为上下底， 每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形 的每一条边分别与 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为 ， ，则，故，同理可证明 ，故六边形 的周长为，即周长为定值； 当都在对应棱的中点时， 是正六边形，计算可得面积，三角形 的面积为，当 无限趋近于时， 的面积无限趋近于，故 的面积一定会发 生变化，不为定值。 故答案为 B. 【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考 查了学生的空间想象能力，属于难题。 12.设函数，,若当 0当时,不等式恒成立,则实数 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案
11、】D - 8 - 【解析】 【分析】 由题意，构造函数，是 上的单调递增函数，又是奇函数，当 ，从而可得到，利用这一 性质可解决本题。 【详解】由题意，令， 则 而是 上的单调递增函数，又是奇函数，于是. 故不等式恒成立，可得到， 则，即， 因为，所以，则， 故. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数单调性与奇偶性的应用，构造函数是解决本题的关键点， 属于难题。 二二. .填空题。填空题。 13.实数满足,则的最大值是_. 【答案】21 【解析】 【分析】 画出满足的可行域，当目标函数经过点时， 取得最大值，求解即可。 【详解】画出满足的可行域，由解得点，则目标函数经过点时， 取 得
12、最大值为. - 9 - 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的 实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数 所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标 函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。 14.现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图 1、图 2、图 3,则至少存在一个 侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，判断顶点的投影在不在底面边上，可判断是否存在一个侧面与此底面互相垂直。 【详解】编号为的三棱锥
13、，其直观图可能是，侧棱底面，则侧面底面，满足题意； 编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧面底面，满足题意； 编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上（如图） ，不存在侧面与底面垂直。 故答案为. - 10 - 【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，考查了 学生的空间想象能力，属于中档题。 15.已知抛物线 ：的焦点为 ,准线 与 轴的交点为 , 是抛物线 上的点,且轴.若以为 直径的圆截直线所得的弦长为 ,则实数 的值_. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，先表示出的坐标，然后可得到直线的方程，求出圆心到直线的距离为，圆的半径 为，再结合弦长为，求解即可。 【详解】由题意，设 在第一象限，则，则直
14、线的方程为， 以为直径的圆的圆心为，半径为，则 到直线的距离为， 则圆 截直线所得的弦长为，解得. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了圆的性质，考查了圆中弦长的计算，属于中档题。 16.设数列的前 项和为满足：，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 时，从而可以得到，即是等比数列， 即可求出的表达式。 【详解】由题意，时，即， - 11 - 时， 所以， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 则，所以， 故. 【点睛】本题考查了数列的递推关系的运用，考查了等比数列的通项公式，考查了学生的逻辑推理能力与计 算能力，属于中档题。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：
15、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.如图, 四点共圆,为钝角且, （1）求; （2）设,求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】 【分析】 （1）由可求出，在中，由余弦定理，可求出；（2）连 接，由，即，从而可知与互补，可知 ，由正弦定理，即可求出. 【详解】 （1），且角 为钝角，. 在中，由余弦定理得， ，解得或（舍） ， 故. （2）连接，则,， - 12 - 则，即， 故， 则与互补，于是 在中由正弦定理. 【点睛】本题考查了圆的性质，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运 用，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题。 18.已知分别为椭圆的左、右焦点. （
16、1）当时,若 是椭圆 上一点,且 位于第一象限,求点 的坐标; （2）当椭圆的焦距为 2 时,若直线与椭圆 相交于两点,且,试求 的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1) 设，由可得解出即可；(2)将直线方程与椭圆方程联立，得到 一元二次方程，结合根与系数关系与，可求出 ，然后求出弦长及点 到直线 的距离 ， 利用三角形的面积公式即可得到答案。 【详解】 （1）设，则于是 - 13 - （2），椭圆方程为，联立直线, , 解得满足， 则 于是 . 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式及点到直线的距离公式的 运用，考查了三角形的面积计算，属于中档题。 19.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC底面ABCD，PA=PC= （1）求证：PB=PD;
