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1、数学建模课程设计报告 系(部、中心) 姓 名 学 号 专 业 班 级 提交时间 成 绩 教师签名 摘要在探险采矿等活动中, 经常会碰到比较深的洞. 为了探索的安全和事前的准备. 这时候, 就需要估算深洞的深度. 常常我们不会带复杂的精密仪器出入山林. 所以, 碰到这种情况, 需要我们用简单的仪器粗略的计算出深洞的深度. 本模型利用秒表和石头等常见的物品做试验, 再作出各种合理的假设, 运用物理知识和微积分估算出各假设下的洞深. 讨论了不考虑空气阻力及考虑空气阻力等三种况. 还进一步考虑了回声的作用. 建立微分方程模型并逐一计算得出各种情况下的洞深. 关键词: 洞深, 空气阻力, 回声, 微积分
2、目录一、提出问题3二、问题分析4三、模型假设5四、符号说明6五、模型的建立与求解7六、结果分析和检验10七、讨论模型的评价、改进和推广11参考文献12一、问题适述假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器, 你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度. 假定你捡到一块质量是1KG的石头, 并准确的测定出听到回声的时间T=5S. 就下面给定情况, 分析这一问题, 给出相应的数学模型并估计洞深. 1、不计空气阻力.2、受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比. 比例系数k1=0.05. 3、受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比. 比例系数k2=0.00
3、25. 4、在上述三种情况下, 如果再考虑回声传回来所需要的时间. 二、问题分析这个问题就是物理中的自由落体, 通过自由落体算出洞的深度则需要知道石头从洞口落到洞底所用的时间. 石头是否落到了洞底则需要从石头撞击洞底传来的回声来判断. 通过物理知识, 我们知道石头下落过程中会受到空气的阻力来阻碍石头下落, 但是空气阻力的大小我们并不清楚, 而且计算方法我们也并不清楚, 这就需要我们做出假设. 通过物理知识, 我们知道声音的传播也是有速度的. 所以回声从洞底传递到测量者耳朵是需要一小段时间的. 如果洞不深的话, 回声传播的时间会很小, 可以忽略. 但如果很深的话, 忽略会对计算结果产生很大的误差
4、. 因此石头下落过程中会受到空气的阻力和声音传递到测量者耳朵的时间这两个因素必须考虑在内. 三、模型假设基于上述分析, 作以下假设. 1.石头落下是作自由落体运动, 测量者并未给其一个初始速度. 并且石头下落过程中没有碰到任何障碍物. 石头落下的地方能够代表洞底的那一平面, 并且能够发出声响. 2.测量者在听到第一声回声响起时就马上按下计算器, 不存在反应时间. 且声波在洞中传递的速度不变. 3.石头下落过程所受空气阻力只与下落速度v有关系, 假设三种情况: (1)不计空气阻力. (2)阻力与v成正比, 比例系数k1=0.05. (3)阻力与v2成正比, 比例系数k2=0.0025. 4.在上
5、述三种情况下, 考虑回声传回所需的时间. 四、符号说明h洞深 m石头的质量, 为1KgT从开始落下到测出回声的时间 g重力加速度, 取10m/s2v石头下落的速度 k1比例系数 k2比例系数 va声波传递的速度,取340m/sT1石头落到洞底的时间 T2回声从产生到测量者听到的时间五、模型的建立与求解1:当不计空气阻力时, 求解洞深h.解:由伽利略的落体定律, 不考虑回声传回的时间和空气阻力, 易知:可以求得: h=125m.2: 如果石块下落时受到空气阻力, 且空气阻力与石块下落速度成正比, 比例系数k1=0.05时, 求解洞深h.解:由, 选向下为正, 建立微分方程如下: ,初始条件: 代
6、入数据可求得:h=115m.3: 如果受空气阻力, 并假设空气阻力与石块下落速度的平房成正比, 比例系数k2=0.0025, 求解洞深h.解:建立微分方程如下: 由, 选向下为正. ,初始条件: 令: A=gk2 , B=2gk2; 可得: h = 0Tvdt = AoTeBt+1eBt-1dt =AoT(1+2eBt-1)dt =(At+2BlneBt-1eBt)0T=AT+2BlneBT-1eBT代入数据编程求解得: h=114m.4:在不计空气阻力情况下, 考虑回声传回所需的时间后, 对3-1, 3-2, 3-3再一次求解.解:(1)在不计空气阻力的情况下, 考虑回声传回的时间代入数据编
7、程求解得: h=109.4m.(2)在石块下落时受到空气阻力, 且空气阻力与石块下落速度成正比, 比例系数k1=0.005的情况下, 考虑回声传回时间, 列得方程组如下: 利用MATLAB计算X=solve(x+3000+20*x/34=4000*2.7(-0.25+0.05*x/340),x)X=106.71125398368799763210014510673h=106.7m.(3)在受空气阻力, 并假设空气阻力与石块下落速度的平房成正比, 比例系数k2=0.0025的情况下, 考虑回声传回时间, 列得方程组如下: H=AT+2BlneBT-1eBTh=vat2t1+t2=T , A=gk
8、2 ,B=2gk2 利用MATLAB计算X=solve(x=63(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7(0.316*5x/340)+1)-log(2*2.7(0.316*5-0.316*x/340),x)X=101.86825754949506384343423952243.h=101.9m.六、结果分析和检验一、不考虑回音的情况1.不计空气阻力, 不考虑回声传播时间计算得洞深h=125m误差分析: 不计空气阻力算的结果125m与考虑空气结果115m相差10m, 而实际上空气阻力肯定是存在的, 所以结果不精确. 2.受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比. 比例系
9、数k1=0.05, 不考虑回声传播时间计算得洞深115m.误差分析: 假设阻力与v成正比所得结果115m, 与假设阻力与v2成正.比所得结果114, 相差1m, 比例数值是没有根据的取值的, 不是很精确. 3.受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比. 比例系数k2=0.0025 , 不考虑回声传播时间计算得洞深114m. 误差分析: 假设阻力与v的平方成正比所得结果115m, 但比例数值是没有根据的取值的, 不是很精确.以上三种模型都没有考虑回音的问题, 不考虑声音从洞底到人耳的时间, 所以结果都不是很精确. 为了得到更准确的结果, 我们把回音的情况考虑进去. 取音速为340m
10、/s, 声音从洞底到人耳的时间为0.338s.带入模型一计算, 得h=100.7m, 与h=114m相差14.2%. 可看出不考虑回音对结果影响较大, 以上结果都不合理. 二、考虑回音 考虑回音的情况下, 如不考虑空气阻力, 问题如模型一, 所以不能忽略一定存在的空气阻力. 考虑空气阻力时, 空气阻力与石头速度v的关系系数的确定影响结果的精确度, 应该综合考虑各种外在因素. 让求得的结果更精准. 七、讨论模型的评价、改进和推广1.模型的评价优点:本模型对提出的深洞探测问题采用了微分方程建立了石子下落的动态模型, 考虑了不计空气阻力的情况、 受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比, 比
11、例系数k1=0.05的情况和受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比, 比例系数k2=0.0025的情况以及在这三种情况下考虑回音因素6种假设, 逐步增加约束条件, 使问题由浅至深逐步解决, 利用物理知识和微积分方程知识求解, 并用MATLAB求出了方程的结果, 求解过程科学合理, 结果准确无误. 缺点：1. 在假设3-1中不考虑空气阻力是不合理的。2. 3-2、3-3中比例系数的确定不合理. 3. 考虑音速时, 没有考虑音速在深洞中的具体数值. 4. 物体的形状没有描述, 没有考虑物体的形状对空气阻力的影响. 5. 没有考虑温度等其他因素对模型的影响.2.模型的改进：1.把石头换成圆形的铁球或者其他球形物体. 2.具体测量深洞中的音速. 3.做实验求出当地空气阻力与该球形物体下落速度的关系式. 3.模型的推广1. 参考文献1 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型(第三版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003.2 廖耀发. 大学物理教程. 北京: 高等教育出版社, 2006.3 同济大学数学系. 高等数学(第六版). 北京: 高等教育出版社, 2007.4 刘卫国. MATLAB程序设计教程. 北京: 中国水电水利出版社, 2005.12
