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1、广州市第五中学 2014年9月,数学试题设计与复习备考,一、对数学复习备考的认识,1、备考复习是较为艰巨的过程 复习中有一种不正确的观念： 总认为学生学习不得力，教师用做题的方式来强化 学生的学习。 认为高考题不好琢磨，常考常新。 无论是学生还是高考命题，这都不是主要原因，其 实在高考复习过程中，教师才是关键。,道理很简单： 只有教师了解全部考试内容，知道主干和一般原 则，懂得工具的使用和如何思考问题； 教师备考资源比较丰富，明白解决问题的策略， 且具有创造性的本能； 教师基本知道考试的方向。,在复习中，教师的具体作用在哪里？ 在了解学生的基础上组织复习； 如何使自己知道的交给学生也能知道；
2、如何对数学问题进行组织这是最重要的。,2、研究复习备考，需不需要关注考试信息？ 要围绕“猜”、“压”做文章的心理。 其实这些不重要，高考不仅是在考学生，同时也是在考老师。 备考研究主要研究三个方面：一是备考的指导思想，即通过分 析考题和学生现状，搞清楚如何组织复习，这是思想性的。 二是备考的策略交流分享，了解大环境下的备考形势，便于在 自己的备考过程中进行完善。 三是在问题选择上进行探讨，如何用最少的问题来获得复习的 高效益。,试题内容选择心理： 心理原则一 ：选择的内容必须具有代表性，选择实际上意味 着“强调”。努力使试题都是若干可共选择的同类试题中的 代表，出一道好题应具有“纲举目张”的功
3、能，使整个体系 抖动起来。 心理原则二：选择的内容必须是重点，选择实际上意味着“ 强化”。努力使试题能找到实际教学的影子。 心理原则三：选择的内容应是有利于学生巩固和加工经验。 选择实际上意味着“诚信”。,基础复习有三个遵循原则： 原则一：改错 辩证地看，学习的意义在于做错了题，只有错题才能反映学 习过程中的不足。 原则二：研究 要研究典型题。选择的题都要深入思考，找到一类题共同的 考点。 原则三：纠偏 补短就是让头脑中有完整的知识网络。要在知识点间建立联 系，形成知识网络。,3、复习不是炒现饭。 要在原有基础上加工、改造，是具有造血功能的过程。 “复”指又、更、再的意思，也指还、返的意思，复
4、习不是 重复的学习，而是具有加工、改造的学习。 要利用数学本身的逻辑性、抽象性和学生反映的错误性作为 主要备考资源。逻辑性：语言的准确转译和数学问题的科学 表征；抽象性：具有概括、联系、创新的功能。错误性：由 学生思维惯性引起。“观察、联想、变换”是解题的本质， 其中“变换”是关键。,复习中组织恰当的问题让学生进行经验的改造，不仅摆脱 了题海，少做多获，更是效率的保证。正如波利亚所说： 一个专心备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的 题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题, 就好像一道门，把学生引入一个完整的理论领域。,二、对数学高考的认识,这些年高考题已形成了一些稳定的风格：
5、 结构稳定： 三大题型格局不会改变，题型、题量、分值基本稳定，实测 难度大都控制在0.60左右。 重点突出： 突出五大能力和两个意识，突出数学主干和数学思想方法， 突出数学与现实生活的联系。 技术成熟：以考试说明为依据，不拘泥于教材，在知识 交汇处设计命题，能力立意，难度稳定，增加思考时间。对 选、填、解的设计从易到难出现3个小高潮，试题切入容易 但深入难，大题几乎都是阶梯题。,选择题的特点： 概念性强，术语、符号、习惯用语都有明确具体含义。 量化突出，定量试题比例较大，计算中蕴含了对概念,原理, 性质和法则的考查。 充满思辨性，源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。 填空题特点：短、小、灵，
6、考查目标集中。 解答题特点：考点目标较多，综合性强，难度较高。 总体上突出通性通法，淡化特殊的技巧，基本上没有思路 比较狭窄和有歧义的试题，起点低落点高。,高考试题难度呈现的特点,1、阅读量较大： (2011粤理21题)已知抛物线C:4y=x2，实数p、q满足p2 -4q0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记(p,q)=max|x1|，|x2|. 过C上横坐标为p0(0)的点A作C的切线交y轴于点B证明：对线段AB上的任一点Q(p,q)，有(p,q)=|p0|/ 2； 设M(a,b)是定点，其中a、b满足a2-4b0,a0.过点M作C的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,y1)，
7、E/(p2,y2)，l1,l2与y轴分别交于F,F/.线段EF上异于两端点的点集记为X，证明：M(a,b)X等价于|p1|p2|等价于(a,b)=|p1|/ 2； 设D=(x,y)|yx-1，y(x+1)2/4-5/4，当点(p,q)取遍D时，求(p,q)的最小值（记为min）和最大值（记为max）,2、变量较多： (2014年粤理7题)若空间中四条两两不同的直线l1，l2， l3，l4，满足l1l2， l1l2，l2l3， 则下列结论一定正确的是( ) Al1l4 Bl1l4 Cl1，l2既不垂直也不平行 Dl1，l2的位置关系不确定,3、证明艰涩： (2010年粤理21题)设A(x1,y1
8、)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xoy上 的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离为(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|， 对于平面xoy上给定的不同的两点A(x1,y1)，B(x2，y2) (1)若点C(x,y)是平面xoy上的点，试证明：(A,C)+ (C,B)(A,B)； (2)在平面xoy上是否存在点C(x，y)，同时满足 (A,C)+ (C,B)(A,B) (A,C)= (C,B) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。,4、问题抽象： (2013年粤理8题)设整数n4，集合X=1,2,3,n。 令集合S=(x,y,z)|x,y,zX，且三条件xyz,yzx,zxy
9、恰有一个成立，若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中，则下列选项正 确的是 A.(y,z,w)S，(x,y,w) S B.(y,z,w)S，(x,y,w)S C.(y,z,w) S，(x,y,w)S D. (y,z,w) S，(x,y,w) S,5、设问新颖： (2014年粤理8题)设集合A=(x1，x2，x3，x4，x5)| x i-1,0,1，i=1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件 “1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为( ) A60 B.90 C.120 D.130,6、方法难觅： (2012年粤理19题)设Sn是数列an前n项和， 2Sn=an+1
10、 -2n+1 +1(nN+)，且a1、a2+5、a3成等差数列。 求a1； 求an； 证明：a1，a2，an的倒数之和小于1.5。,7、推理困难： (2011年粤理8题)设S是整数集Z的非空子集，如果任意 a,bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的若T,V是Z 的两个不相交的非空子集，YV=Z,且任意a,b,cT，有 abcT；任意x,y,zV，有xyzV,则下列结论恒成立的是( ) AT,V中至少有一个关于乘法是封闭的 BT,V中至多有一个关于乘法是封闭的 CT,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 DT,V中每一个关于乘法都是封闭的,三、数学题设计策略,(一)数学问题设计举例 1、角度原则
11、：圆O：x2 +y2 =r2 (r0)和直线l：kx-4y+m=0。 若m=10，k=3，圆O上仅有两个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。 若m=10，k=3，圆O上仅有三个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。 若m=10，k=3，圆O上仅有四个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。 若r=2，k=3，圆O上仅有四个点到直线l的距离为1，求实数m的取值范围。 若r=2，k=3，直线l上至少存在一点使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆O有 公共点，求实数m的取值范围。 若r=2，m=16，直线l上至少存在一点使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆O 有公共点，求实数k的取值范围。 把圆中“形”的
12、概念转译到数的推理中，强化认识的增值。,2、加固原则 问题1：数列an是公差不为0的等差数列， an的部分项组成的数列 恰为等比数列， 如果k1 =1，k2 =5，k3 =17，求kn。 巩固基本数列概念，拓展思维空间，融知识与方法之中， 训练转化能力。,问题2：各项都为正数的等差数列an的公差不为0， 设a1，a3，a7是公比为q的等比数列bn的前三项， 若首项a1 =2，将数列an与bn中相同的项去掉，剩下 的项依次构成新的数列cn,设其前n项的和为Sn , 求 的值。 易知an=n+1，bn=2n，数列cn前2n -n-1项的和正好是 数列an前2n -1的和减去数列bn前n项的和，余下
13、的项 正好是(2n-1)-n=2n -n-1，所以 加大经验改组水平，体验数学活动经验的获得，训练表征能力,3、概括原则曲线中定值、定点问题(难点),问题1：在圆中，直径所对圆周角是直角，那么两 直角边所在直线的斜率乘积为-1。在椭圆中，过中心 的弦交椭圆于A、B，P是椭圆上异于A、B的任意点，那么 PA,PB所在直线的斜率乘积是多少？ 可以证明： (当e=0时，是圆，将b2换成-b2就是双曲线问题) 提供经验对比，创设发现新经验的活动环境.,问题2：(江苏2011年理18题)： 设M、N是曲线2x2 +4y2 =8的左顶点、下顶点，过中心 的弦为PA(P在第一象限)，过P作x轴的垂线，垂足为
14、C，直线 AC交椭圆于B，设直线PA的斜率为k， 当直线PA平分线段MN时，求k的值； 当k=2时，求点P到直线AB的距离； 对任意的k0，求证：PAPB. 【3问：设P(x,kx)，则C(x,0)，A(-x,-kx)，因为PA是直径，所以kBP kBA = -0.5，而kBA =kAC =0.5k， 所以kPA kPB = -1】 巩固发现成果，在具体活动中增强数学活动的兴趣。,3、“显函数”与“隐函数”相关变量主变量与相关变量,问题1：(2013山东理)正实数x,y,z满足x2 -3xy+4y2 -z=0， 当 取最大值时，求 的最大值。 【分离变量，z =x2 -3xy+4y2 ，再利用
15、基本不等式，转化为 单变量y的函数，求得最大值为1】 问题2：设点P在椭圆x2 +2y2=4上，求x+y的取值范围。 表征1：用参数方程； 表征2：转化为求只需截距范围； 表征3：由柯西不等式,(二)数学复习题的设计策略(5个增长点),1、从课本问题及知识间内在联系的角度寻找试题增长点 问题1：向量a=(x，1)，b=(4，x)，且两向量的夹角为， 则x=( ) 这是人教A数学4119页A组8题的改编。把显性条件“共线且方 向相同”换成了隐性条件“向量夹角为”，从而既考查了共 线性质，又考查了夹角概念。,问题2：集合M=4，3，1，0，-1， 记M的所有非空子集为Mj，每个Mj中所有元素的积记作mj， j=1，2，31，则m1 +m2 +m31 =( -1 ) 把集合概念与运算概念结合起来，考查子集概念和抽象思维 能力。-1的运用是隐含条件。,问题3：实数x,y满足x2 +y2 +xy=1，x+y最大值是( ) (2011浙江文16题) 常规思路1：基本不等式： 常规思路2：切线法：令m=x+y，则x2-mx+m2=1， 由判别式=0求得。 新思路1：
