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1、江西省高安中学2019届高三年级上学期第四次考试文科数学试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，再计算可得答案.【详解】解：由题意得：，,可得 =,故选C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先求出集合B是解题的关键.2.已知，则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可得=，=，可得答案.【详解】解：由题意得：， =， =, =,故选D.【点睛】本题主要考查同角三角函数间的计算，算出是解题的关键.3.在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】C【解析】分析：为、的等比中项，则，由韦达定理，求出，从而求出，因为数列为正项数列，则取正数.详解：因为、为方程的两根，由韦达定理，为、的等比中项，则，解得，因为数列为正项数列，所以，故选C点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，等比数列隔项符号相同.4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先把方程整理为椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴上，可得2求得k的范围，再根据k0可得答案.【详解】解：椭圆的标准方程为:，焦点在y轴上, 2,解得k1，又k0，0k2,是解题的关键.5.已知
3、平面向量和的夹角为，则（ ）A. 20 B. 12 C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，则： ，故： .本题选择D选项.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) 常用来求向量的模6.下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是“，均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】【分析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案.【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；
4、B,当a=21时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以，使得的否定是，均有,所以C正确；D, 的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识.7.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为得,由此可求a的值.【详解
5、】解:函数的导数,函数f(x)在x=1处的倾斜角为, , , 故选B.【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 60【答案】A【解析】【分析】根据三视图画出三棱锥的直观图，利用三棱锥体积公式可得答案.【详解】解:根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, 故选A.【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的面积、体积，正确画出几何体的直观图是解题的关键.9.定义行列式运算.已知函数满足且的最小值为，则的值
6、为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】先求出函数的解析式，然后由的最小值为可以求出周期，进而求出.【详解】由题意得，因为的最小值为，所以，则由得.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题。10.已知为圆周率，为自然对数的底数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数是上的增函数，A错；，B对； ，而函数是上的减函数，C错； ，而函数是上的增函数，D错，故选B11.如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接,可得三角形为等边三角形
7、，过点P作PHx轴于点H, 则=60，可得|=2c, , |=, |=，连接,利用双曲线的性质, 2a=|-|=-2c=,可得离心率e.【详解】解：由题意得：四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, |=|=2c,则三角形为等边三角形.过点P作PHx轴于点H, 则=60，|=2c,在直角三角形中, |=, |=,则P(2c,), 连接, 则|=.由双曲线的定义知,2a=|-|=-2c=,所以双曲线的离心率为e=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活运用双曲线的性质是解题的关键.12.设函数（表示中的较小者），则函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【
8、解析】 作图，所以函数的最大值为，选D.点睛：涉及函数大小问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题.13.已知实数满足则的最小值是_.【答案】2【解析】分析：先作可行域，再平移目标函数所代表的直线，结合图形确定最小值取法.详解：作可行域，所以直线过点A（1，1）时取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜
9、率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.在中，面积，则角的大小为_.【答案】45【解析】分析：根据面积公式=，结合余弦定理即可求解.详解：由题可知：=，所以C=故答案为点睛：考查三角形面积公式，余弦定理，对公式的正确变形运用是解题关键，属于中档题.15.已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则_.【答案】【解析】【分析】由已知条件推导出数列是首项为0, 公差为1的等差数列,由此能求出.【详解】解：由题意得：,令n=1,得,=0,令n=2,得,=1,于是,故数列是首项为0,公差为1的等差数列,所以=故答案：【点睛】本题主要考查等差数列求
10、和，求出数列是首项为0,公差为1的等差数列是解题的关键.16.在四面体中，底面，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则_.【答案】2【解析】【分析】根据G为ABC的重心, 可得AG, 根据外心的性质, 可得其半径, 然后利用勾股定理求解可得AD的值，可得答案.【详解】解：由题意可得,点G是ABC的重心,AG=AE=2,设ABC的外心为O,由题意可得点O在AE上,令OA=r,则+=,即+=,解得，AD平面ABC,四面体ABCD的外接球的半径,解得AD=4,tanAGD=2故答案：2.【点睛】本题主要考查四面体的外接球的相关计算及三角形重心、外心等相关计算，考查同学的空间想象能力
11、.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件易得,结合三角形的内角公式可得，根据和角公式即可求得的值；（2）根据正弦定理求得边由三角形的面积公式求解其面积.试题解析：（1）由得 1分2分进一步可求得 3分又因为 4分所以 6分（2）由正弦定理得9分所以的面积12分考点：正弦定理解三角形18.如图，五面体中，四面体是菱形，是边长为2 的正三角形，.（1）证明：；（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1
12、）要证，可由平面证得，只需证明和即可；（2）分析条件可得点在平面内的射影必在上，是的中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量即可.试题解析：解：（1）如图，取的中点，连因为是边长为的正三角形，所以 又四边形是菱形，所以是正三角形所以而，所以平面所以 （2）由（1）知，平面平面因为平面与平面的交线为，所以点在平面内的射影必在上，所以是的中点如图所示建立空间直角坐标系， ，所以，设平面的法向量为，则，取，则，即平面的一个法向量为 所以与平面所成的角的正弦值为 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长
13、，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19.为研究患肺癌与是否吸烟有关，某机构做了一次相关调查，制成如下图的列联表，其中数据丢失，但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总人数的；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为.患肺癌不患肺癌合计吸烟不吸烟总计（1）若吸烟不患肺癌的有4人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；（2）若研究得到在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少有多少？附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）（2）至少为20人【解析】【分析】(1)由题意求得吸烟人数, 利用分层抽样法求出抽取人数,再用列举法求得基本事件数, 从而计算所求的概率值;(2)设吸烟人数为5x,由列联表计算观测值,对照临界值求得x的值, 从而求得吸烟人数.【详解】解：（1）设吸烟人数为，依题意有，所以吸烟的人有20人，故有吸烟患肺癌的有16人，不患肺癌的有4人.用分层抽样的方法抽取5人，则应抽取吸烟患肺癌的4人，记为.不吸烟患肺癌的1人，记为.从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有，共10种
