北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习数学（理）试题（解析版）

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1、1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理）数学（理）201920193 3 一一. .选择题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项选择题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由解得，故，故选 B. 【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析

2、】 【分析】 由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可. 【详解】由题意可得：， 则复数 z 对应的点为，位于第四象限. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 3.的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简二项式的展开式，令 的指数为零，求得常数项. 2 【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为 ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题. 4.若函数 则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【

3、答案】A 【解析】 【分析】 画出函数的图像，由此确定函数的值域. 【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法， 属于基础题. 5.如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（ ） 3 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】对于 B 选项，由于，不正确；对于 C 选项，由于，不正确；对于 D 选项，由于，不正确.故本题选 A. 【点睛】本小题主要考查已知三角函数图

4、像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项， 属于基础题 6.记不等式组所表示的平面区域为 “点”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 画出可行域和点，将旋转到点的位置，求得 的值，由此求得 的取值范围，进而判断出充 分、必要性. 【详解】画出可行域和点如下图所示，将旋转到点的位置，得，当 时，；当时，.故“点”是“”的充分必要条件.故选 C. 4 【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的

5、边长为 ） ，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可. 【详解】由三视图可知，在棱长为 2 的正方体中，其对应的几何体为棱锥， 5 该棱锥的体积：. 本题选择 D 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至

6、少有一天开车上班的职工 人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 将原问题转化为 Venn 的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示， （a+b+c+x）表示周一开车上班的人数， （b+d+e+x）表示周二开车上班人数， （c+e+f+x） 表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数， 6 则有： ， 即， 即，当 b=c=e0 时，x 的最大值为 6， 即三天都开车上班的职工人数至多是 6. 【点睛】本题主要考查 Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在

7、考查学生的转化能力和计算求解 能力. 二、填空题把答案填在答题卡上二、填空题把答案填在答题卡上 9.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_ 【答案】1 【解析】 【分析】 由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求 解距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为， 渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线的距离为：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 7 10.执行如图所示的程序框图，则输出的 值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 运行程序，当时退出循环，计算得输出 的

8、值. 【详解】运行程序，判断是，判断是，判断否，输出. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果，属于基础题. 11.在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得的坐标，由此求得 【详解】直线即.圆两边乘以 得，即，令，解得 ，故，所以. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题. 12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线若，则在内无零点” 为假命题的一个函数是_ 【答案】 【解析】 8 【分析】 由题意给出一个满足题意的函数解析

9、式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可. 【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示， 该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点， 故该函数使得原命题为假命题. 【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理， 否则可能会出现错误. 13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1 所示） ，上 层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图 2 所示） 上层坛从第一环至第九环 共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的

10、扇面 形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是_； 上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意可知每环的扇面形石块数是一个以 9 为首项，9 为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石 9 块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可. 【详解】第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以 9 为首项，9 为公差的等差数列， 所以，an9（n1）99n， 所以，a27927243， 前 27 项和为：3402.

11、 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 14.在平面内，点 是定点，动点满足，则集合所 表示的区域的面积是_ 【答案】 【解析】 【分析】 以 为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得 点的坐标，化简 后可求得 点的轨迹也即 表示的区域，由此计算出区域的面积. 【详解】以 为原点建立平面直角坐标系，由于，即,故设 ，即，设，由得 ，即，则，故 表示的是原 点在圆心，半径为的圆，由于，故 点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之 间的扇环，故面积为. 10 【点睛】本小题主要考查数形结合的

12、数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法， 考查分析求解能力，属于中档题. 三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.在中，的面积等于，且 (1)求 的值； (2)求的值 【答案】 （）1；（）. 【解析】 【分析】 （I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得 的的 值，利用二倍角公式求得的值. 【详解】解：（）由已知得 整理得 解得或 因为，所以 （）由正弦定理， 即 所以 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二

13、倍角 公式，属于中档题. 16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了 50 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从 进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40 分钟） 将统计数据按分组， 制成频率分布直方图： 11 假设乘客乘车等待时间相互独立 (1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取 1 人，记为 ；从乙站的乘客中随机抽取 1 人，记为 .用频 率估计概率，求“乘客 , 乘车等待时间都小于 20 分钟”的概率； (2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取 3 人， 表示乘车等待时间小于 20 分钟的人数，用频率 估计概率，求随机变量 的分布列与数学期望. 【答案】

14、 （） ；（）详见解析. 【解析】 【分析】 （I）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公 式，计算出“乘客 , 乘车等待时间都小于 20 分钟”的概率.（II）根据二项分布概率计算公式以及数学期 望计算公式，求得 的分布列和数学期望. 【详解】解：（）设表示事件“乘客 乘车等待时间小于 20 分钟” ， 表示事件“乘客 乘车等待时间小 于 20 分钟” ， 表示事件“乘客乘车等待时间都小于 20 分钟” 由题意知，乘客 乘车等待时间小于 20 分钟的频率为 ，故的估计值为 乘客 乘车等待时间小于 20 分钟的频率为 ，故的估计值为 又. 故事件

15、 的概率为 （）由（）可知，乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为， 所以乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的概率为 . 显然， 的可能取值为且. 所以； 12 ；. 故随机变量 的分布列为 0 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布分布列和数学期望的计算，还考查了由频率 分布直方图求频率的方法，属于中档题. 17.如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，四边形为梯形，且 ， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （）详见解析；（）；（）线段上存在点，使得平面，且 【解

16、析】 【分析】 （I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值. （III）设,用 表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方 程，解方程求得 的值，由此判断存在符合题意的点. 【详解】解：（）证明：因为为正方形， 所以 又因为平面平面， 13 且平面平面， 所以平面 所以 （）由（）可知，平面，所以， 因为，所以两两垂直 分别以为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图） 因为， 所以， 所以 设平面的一个法向量为， 则 即 令，则， 所以 设直线与平面所成角为 ， 则 （）设， 设，则， 所以，所以， 所以 设平面的一个法向量为，则 因为，所以 令，则，所以 在线段上存在点，使得