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1、第2课时 圆与圆的位置关系,圆与圆的位置关系及判定 已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2= ，C2：(x-x2)2+(y-y2)2= ，则 圆心距d=|C1C2|=_.则两圆C1，C2有以下位 置关系：,0,dr1+r2,d|r1-r2|,2,|r1-r2|dr1+r2,1,d=|r1-r2|,d=r1+r2,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)若两圆只有一个公共点，则两圆外切.( ) (2)若两圆无公共点则两圆相离.( ) (3)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交.( ) (4)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含.( ),【解析】(1)错误.两圆有一个公共点时
2、，位置关系为外切或内切. (2)错误.两圆无公共点时，位置关系为相离或内含. (3)正确.若有两个解，则两圆有两个公共点，所以两圆相交. (4)正确.因为两圆半径不相等且圆心在同一点，故两圆位置关系为内含. 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若两圆的半径R，r分别是5和3，圆心距为d=3，则两圆的位置关系是_. (2)若圆x2+y2=4与圆M外切，圆心距为5，则圆M的半径r=_. (3)圆x2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是_.,【解析】(1)R+r=8d，又R-r=2d，故两圆相交. 答案：相交 (2)因为两圆外切，所
3、以R+r=5. 又已知圆的半径R=2，所以圆M的半径r=5-2=3. 答案：3,(3)圆x2+(y-1)2=1的圆心为(0，1)，半径为r1=1， 圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1，0)，半径为r2= . 圆心距 因为 故两圆相交. 答案：相交,【要点探究】 知识点1 两圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系的判定方法 (1)几何法：利用两圆的圆心距、两圆的半径的和、两圆的半径的差的绝对值的关系判定. (2)代数法：将两个圆的方程联立，消元得到一个一元二次方程，利用进行判定，当0时两圆相交；当=0时两圆外切或内切；当0时两圆相离或内含.,2.圆与圆位置关系判定的关注点 (1)仅从圆与圆的交点个
4、数判定是不科学的，如有1个交点，就不能判定是内切还是外切，应再结合图象判定. (2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定. (3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度.,3.公共点个数 (1)两圆相离和内含时，公共点个数为0. (2)两圆相交时，公共点个数为2. (3)两圆内切和外切时，公共点个数为1.,【知识拓展】两圆公切线的条数问题 两圆相离时，有四条公切线；外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；内切时，仅有一条公切线；内含时，没有公切线.,【微思考】 (1)判断两圆的位置关系需要确定哪些量？如何确定这些量？ 提示：需要确
5、定圆心距和两圆半径，圆心距由两圆圆心坐标利用两点间的距离公式可得，半径可由圆的标准方程得出. (2)利用代数法确定两圆位置关系的关键是什么？ 提示：由两圆方程联立消元后得出一元二次方程，关键看此一元二次方程的判别式，判别式的符号决定两圆的位置关系.,【即时练】 1.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 2.判断圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系.,【解析】1.选B.把方程x2+y2-8x+6y+9=0化为标准方程为 (x-4)2+(y+3)2=16，则两圆的圆心距为 而4-3
6、54+3，故两圆相交. 2.方法一：两圆的方程分别变形为 (x-1)2+y2=4，(x-2)2+(y+1)2=2， 所以两个圆心的坐标分别为(1，0)和(2，-1)，两圆的圆心距 d=|C1C2|= 由|r1-r2|=2- ，|r1+r2|=2+ ， 因为2- |C1C2|2+ ，所以这两个圆相交.,方法二：由圆C1与圆C2的方程联立组成的方程组得： -得x-y-3=0，即y=x-3 把代入并整理得x2-4x+3=0 方程的判别式=(-4)2-413=40， 方程组有两组不相同的实数解，所以圆C1与圆C2相交.,知识点2 两圆相交的公共弦 1.两圆相交时公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2+y
7、2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1- D2)x+(E1- E2)y+ F1-F2=0.,2.两圆相交时常用的四个结论 (1)当两圆的圆心连线长介于两圆的半径差的绝对值与半径和之间时，两圆相交. (2)两圆相交时，公切线有两条. (3)求解两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去二次项即可. (4)两圆的圆心所在的直线垂直平分公共弦.,【微思考】 (1)将两个相交的圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？ 提示：这条直线为两圆相交弦所在
8、直线. (2)两圆的公共弦所在直线是否是两圆圆心连线的垂直平分线？ 提示：不一定.当半径相等时是，否则不是.,【即时练】 1.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为_. 2.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_.,【解析】1.线段AB的垂直平分线即为两圆连心线所在的直线， 两圆心分别为(1，0)，(-1，2)，k= =-1，y=-1(x-1)， y+x-1=0. 答案：x+y-1=0 2.由 -得2x+6y=0，即x+3y=0. 答案：x+3y=0,【题型示范】 类型一
9、 由两圆的位置关系求参数 【典例1】 (1)若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1相离，则a，b满足的条件是_. (2)已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，求m为何值时， 圆C1与圆C2外切；圆C1与圆C2内切.,【解题探究】1.题(1)中，两圆相离时，两圆的圆心距及半径之间具有什么关系？ 2.题(2)中，两圆外切和内切时分别应满足怎样的数量关系？ 【探究提示】1.两圆相离时，圆心距大于两圆的半径之和. 2.外切：r1+r2=d(d为圆心距)， 内切：|r1-r2|=d.,【自主解答】(1)由题意可得，两圆
10、圆心坐标和半径长分别为 (a，0)， 和(0，b)，1，因为两圆相离，所以 即a2+b23+2 . 答案：a2+b23+2 (2)对于圆C1与圆C2的方程， 经配方后，C1：(x-m)2+(y+2)2=9； C2：(x+1)2+(y-m)2=4. 所以两圆的圆心坐标分别为C1(m，-2)和C2(-1，m)， 两圆的半径为r1=3，r2=2，,如果圆C1与圆C2外切， 则有 (m+1)2+(m+2)2=25，m2+3m-10=0， 解得m=-5或m=2.,如果圆C1与圆C2内切，则有 (m+1)2+(m+2)2=1，m2+3m+2=0， 解得m=-2或m=-1. 所以当m=-5或m=2时，圆C1
11、与圆C2外切， 当m=-2或m=-1时，圆C1与圆C2内切.,【方法技巧】由两圆位置关系求参数的方法 (1)用几何法的操作步骤 将两圆的方程化为标准方程. 找到两圆的圆心坐标和半径R，r及圆心距d. 据两圆的位置关系找出d与|R-r|，R+r的大小关系，列出不等式(方程). 解不等式(方程)，求出参数.,(2)用代数法的操作步骤 把两个圆的方程联立为方程组. 两式相减消去二次项. 将所得y代入一个圆的方程得到一个一元二次方程. 求一元二次方程的，通过两圆位置关系来判断的符号. 据的符号，解出参数.,【变式训练】(2014长春高一检测)已知圆C1：x2+y2+2x=0与圆C2：x2+y2-2mx
12、+4y+m2-5=0. (1)当m=1时，圆C1与圆C2的位置关系如何？ (2)是否存在m，使圆C1与圆C2具有内含关系？,【解析】(1)当m=1时，C1：(x+1)2+y2=1， C2：(x-1)2+(y+2)2=9，则两圆的圆心距为 又因为r1+r2=1+3=4，|r1-r2|=|1-3|=2， 所以|r1-r2|dr1+r2，所以圆C1与圆C2相交.,(2)圆C2：(x-m)2+(y+2)2=9，圆心为(m，-2)， 所以两圆的圆心距 令d|r1-r2|，即 平方，得(m+1)20，此式显然不成立， 所以不存在实数m，使得两圆内含.,【误区警示】应用几何法判断两圆的位置关系比较简单明了，
13、应用代数法判断运算量较大，而且还必须借助几何法，如方程组无解仅能说明两圆没有交点，到底是相离还是内含，还要进一步论证，故在一般的解题中，我们常采用几何法.,【补偿训练】(2014烟台高一检测)已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求a为何值时，两圆C1，C2： (1)相切.(2)相交.(3)相离.(4)内含. 【解析】对圆C1，C2的方程，经配方后可得： C1：(x-a)2+(y-1)2=16， C2：(x-2a)2+(y-1)2=1， 所以圆心C1(a，1)，半径r1=4，圆心C2(2a，1)，半径r2=1， 所以|C1
14、C2|=,(1)当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切. 当|C1C2|=|r1-r2|=3，即a=3时，两圆内切. (2)当35，即a5时，两圆相离. (4)当|C1C2|3，即0a3时，两圆内含.,类型二 圆与圆相切的问题 【典例2】 (1)(2014济宁高一检测)半径为6的圆与x轴相切，且与圆 x2+(y-3)2=1内切，则此圆的方程为_. (2)求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+ y=0相切于点M(3， - )的圆的方程.,【解题探究】1.题(1)中圆与x轴相切，则圆心坐标(a，b)与半径有什么关系？ 2.题(2)中当直线与圆相切时圆心到直线的距离与圆的半径是什么
15、关系？ 【探究提示】1.r=|b|. 2.当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径长.,【自主解答】(1)由题意知，半径为6的圆与x轴相切， 设所求圆的圆心坐标为(a，b)， 则|b|=6，b=6，由内切关系可知b=-6不合题意，舍去， 再由 解得a=4， 故|b|所求圆的方程为(x4)2+(y-6)2=36. 答案：(x4)2+(y-6)2=36,(2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)， 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切， 则 =r+1. 又所求圆过点M的切线为直线x+ y=0， 故 解由组成的方程组得 a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4 ，r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4 )2=36.,【延伸探究】将题(2)变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，- )的圆的方程”. 【解析】因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2， 又因为与圆x2+y2-2x=0外切，且过点(3，- )， 所以 解得 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.,【方法技巧】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心
