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1、5复数的几何意义6的教学设计与教学反思 芮玉贵 ( 南京中华中学 210006) 1 教学过程实录 1. 1 以史设疑, 引入课题 师: 1545 年出现了负数开方问题. 到了 1637 年, 笛卡尔也认为负数开方是/ 不可思议的0, 称这 样的数为/ 虚数0(虚数一词沿用至今). 1799 年高 斯给出了复数的几何解释, 并有了广泛应用, 人们 接受了复数. 你猜猜看, 高斯是怎样给出复数的几 何解释的? 1. 2 类比联想, 探索复数的几何意义 师: 好象猜不出来, 是吧? 那怎么办啊? 其实我们人类研究新问题, 研究未知问题 的一个最基本方法, 就是/ 由已知研究未知0, 也就 是利用已
2、知的东西研究未知东西. 我们已经知道, 复数是由实数扩充得来的, 那么, 大家想高斯会怎么研究呢? 要研究复数的几何意义, 利用什么已知来 研究呢? 既然复数由实数扩充得来, 那能不能类比 实数的几何意义来研究呢? 师: 实数有什么几何意义呢? 生: 实数可以用数轴上的点来表示. 师: 为什么实数可以用数轴上的点来表示呢? 实数与数轴上的点是什么一种关系呢? 生: 一一对应 师: 对, 实数与数轴上的点一一对应. 这个/ 一 一对应0重要啊! 正是由于一一对应, 我们才可以把每一个实 数, 用数轴上的点(几何意义) 来表示. 数轴上的点 就是实数的几何模型, 也就是实数的几何意义之 一. 这样
3、所有实数都在数轴上了, 那么, 实数集的 几何模型是什么? 生: 数轴. 师: 实数还有其他几何意义吗? 生: 在解析几何初步和单位圆三角函数线中, 讲过有向线段OA 的数量OA 是实数, 这算不算是 实数的几何意义呢? 师: 可以. 如果给你一个实数 a, 那实数 a 的 绝对值/ | a| 0是不是也有几何意义? 是什么? 生: 表示实数 a 在数轴上的对应的点 A 到原 点O 的距离. 师: 刚才回顾了与实数有关的几何意义, 有关实数的几何意义有关复数的几何意义 1 实数可以用数轴上的点来表示 实数集的几何模型: 数轴 1 2 实数 a可以用有向线段OA 的数量 OA 表示 实数 a 绝
4、对值的几何意义: 实数 a 在数轴上所对应的 点 A 到原点 O 的距离 2 那么, 你能否想象一下怎么来刻画复数的几 何意义? 能不能用类比的方法从几何的角度来解 释复数? 请同学们先独立思考, 然后小组讨论, 大 家分享研究成果, 并解释研究成果的合理性. 师: 对复数的几何意义, 你们各小组得到什么 结论? 为什么? 生: 复数的几何意义是平面直角坐标系中的 点 Z(a, b) . 因为每个复数 z= a+ bi( a, b I R)都可 以看作是一个/ 有序实数对(a, b)0, 实数对(a, b) 与直角坐标系中的点 Z(a, b) 是一一对应的. 这 样, 复数 z= a+ bi
5、(a, bI R)就与平面直角坐标系 32数学通报 2010 年 第 49 卷 第 9 期 中点 Z(a, b)一一对应. 所以, 复数 z = a+ bi ( a, b I R)就可以用平面直角坐标系中的点 Z( a, b) 来 表示. 师(板书图示): 很好, 在平面直角坐标系 xOy 中, 以复数 z = a+ bi(a, b I R) 的实部为横坐标, 虚部为纵坐标, 就确定了点 Z( a, b), 我们可以 用 点 Z( a, b)来表示复数 z= a+ bi , 这就是复数的 几何意义, 也就是复数的几何模型. 师: 类比实数集的几何模型是数轴, 你们有什 么发现? 生: 复数集的
6、几何模型是平面直角坐标系所 在的平面. 师: 我们把建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复数平面, 简称复平面(也称高斯平面). 那么 x 轴上的点和y 轴上的点 所表示的复 数分别有什么特点? 生: x 轴上的点表示的是实数, y 轴上的点表 示的是纯虚数. 师: 他说的有没有缺陷? 生: 有缺陷. 应该是: y 轴上的点除原点外, 表 示的都是纯虚数. 师: 哦, 实数对应的点都在 x 轴上, 我们给 x 轴起个名字称为实轴. 那么虚轴呢? 生: y 轴称为虚轴. 师: 还有什么发现? 大家想想看, 我们还用有 序实数对(a, b)表示过什么? 生: 平面向量 师: 表示哪个向量呢? 生
7、: OZ 师: 那为什么复数 z 能够用向量OZ表示呢? 生: ( 学生回答, 教师板书, 用图表示更清晰) 师: 复数 z= a+ bi 与平面向量OZ一一对应, 所以就可以用向量表示复数 z= a+ bi. 由这样的一种关系出发呢, 于是我们对复数 又产生了一个新的认识. 什么新的认识呢? ) 复数可以看作是向 量, 复数可以用向量表示. 当然, 我们还应该注意, 复数(0, 0)就与零向量对应. 我们得到了复数的又 一种几何意义 ) 复数的向量意义. 师: 如何理解 复数 z= a+ bi (a, b I R)、 复平 面上的点 Z( a, b)与平面向量OZ之间的关系? 生: (1)
8、三者有联系 ) 三者一一对应, 是通 过有序实数对在三者之间建立起一一对应关系. 因此三者都表示复数 z, 为了方便起见, 把复 数 z= a+ bi ( a, bI R)说成点 Z 或向量OZ. 三者的联系可以用右图表示: (2) 三者有区别) ) 主要是表达形式不同. z= a+ bi y从数的角度刻画复数. 点 Z(a, b) y从形的角度刻画复数. 向量OZ y从形的角度刻画复数. ) ) z = a+ bi( a, b I R)称为复数的代数形式. ) )点 Z(a, b)称为复数的几何形式. ) )向量OZ称为复数的向量形式. 师: 还有什么发现? 如果把绝对值概念推广 到复数中来
9、, 复数绝对值的几何意义是什么? 复数 z= a+ bi, | z| z y? 生: 应该是/ 复数的对应点 Z( a, b) 到坐标原 点 O 的距离0. 师: 那么, 这个距离怎么表示? 刚才不是发现 复数可以用向量表示吗? 你有什么启发? 生: 既然复数可以用向量OZ表示, 那么就能 得到| z | = | OZ| =a 2+ b2 . 师: 复数绝对值与实数绝对值的几何意义一 样, 是复平面内点 Z( a, b) 到原点 O 的距离, 也就 是向量OZ的模, 即 | z | = | OZ| = | OZ| . 我们把 向量OZ的模称为复数的模或复数的绝对值. 师: 下面通过一组练习来加
10、深我们对自己研 究成果的理解. 332010 年 第 49 卷 第 9 期 数学通报 =例 1辨析: (1)下列命题中的假命题是( ) ( A) 在复平面内, 对应于实数的点都在实轴 上; ( B) 在复平面内, 对应于纯虚数的点都在虚 轴上; ( C) 在复平面内, 实轴上的点所对应的复数 都是实数; ( D) 在复平面内, 虚轴上的点所对应的复数 都是纯虚数. (2)复数 z 与 z 之间有什么关系? =例 2 已知复数 z1= 3+ 4i, z2= - 1+ 5i, 试 比较它们模的大小. =例 3( 1)满足| z | = 5( z I C) 的复数 z 对应 的点在复平面上将构成怎样
11、的图形? (2)满 3(1) 已知复数 z 对应点Z, 说明 | z - (1 + 2i) | 所表示的几何意义. (2) 若复数 z 满足等式| z - 1 | = 5, 则 z 所对 应的点的集合是什么图形? (3) 设 z1, z2I C, | z1| = | z2| = 1, | z2+ z1| = 2, 则| z2- z1| = 1. 4 总结反思, 质疑提问 师: 这节课你有哪些收获? 与复数有关的几 何意义有哪些? 本节课运用了哪些数学思想方 法? 生: 与复数有关的几何意义共六个: 复数可看 作平面上的点, 可以看作平面向量; | z| 的几何意 义, 复数加法、 减法的几何意
12、义及| z2- z1| 的几何 意义. 生: 本节课运用了 类比联想方法; 一一对 应的思想; 数形结合思想等数学思想方法. 师: 1. 本节课由实数出发, 联想类比得到复数 可用复平面上的点来表示, 进而得到复数的向量 34数学通报 2010 年 第 49 卷 第 9 期 形式, 这是由一维向二维转化发展的联想, 同时实 现了从/ 数0到/ 形0的转化, 类比平面向量的加减 法, 又得到复数加减法的几何意义, 从而对复数有 了新的认识. 2. 通过复数的几何意义与复数加减法的几何 意义的学习, 体会数形结合的思想. 复数作为一种 新的数学语言, 也将为我们今后用代数方法解决 几何问题提供了新
13、的可能. 3. 莱布尼兹所说/ 虚数是奇妙的人类精神的 寄托! 它好像是存在与不存在之间的一种两栖动 物. 0有了复数的几何意义, 对于我们来说, 现在复 数不显得那么虚无缥缈了. 师: 关于复数的几何意义, 你还有什么问题? 生: 老师, 直线上的点与实数对应, 平面上的 点与复数对应, 空间的点与什么数对应呢? 师(停顿一忽儿, 显然没有思想准备): 同学 们, 你们觉得她这个问题提的怎么样? 生(很多学生发自内心): 高! 师: 我从教了二十年, 她是第一个向我提出这 个问题的! 实数是一元数, 复数是二元数, 三维空 间的点应该对应三元数; 如果这样, 复数集需要进 一步扩充, 复数集
14、还能扩充吗? 不仅如此, 她还希 望扩充后的新数集可以同空间的点(空间向量) 对 应起来, 最好新数集内的运算与空间向量的运算 一致. 历史上, 这些想法曾困扰过许多数学家, 但 这些愿望都没有实现, 有兴趣的同学课后研究研 究三元数的存在性. 2 教学反思 2. 1 教师的启发应该/ 由远及近0 南京师范大学涂荣豹教授指出: / 在课堂上, 教师的启发应该是由远及近的. 0 其大意是: 教师 首先提出一个很远的问题, 让学生思考一段时间, 然后教师提出一个稍接近目标的问题, 再让学生 思考一段时间, 然后教师再提出一个更接近目标 的问题, 再让学生思考一段时间, 如此不断地进行 下去. 这样
15、在课堂上, 不同层次的学生都会在教师 的启发下, 逐渐地想到应该怎么做. 最后, 让学生 各自发表观点, 要注意的是, 教师不要让知道的学 生来告诉不知道的学生, 最好做法是: 根据发现的 能力, 让最后一个发现的学生最先讲, 中途发现的 学生中间讲, 最先一个发现的学生最后讲, 也就是 由近及远地请学生一个一个地回答. 所以, 在本节 课的教学设计中, 笔者对启发的提示语进行了精 心设计, 尤其对教学重难点的启发, 力求从未知量 的目标和方法论的角度来/ 由远及近0 的引导, 一 个问题比一个问题明朗, 并/ 由近及远0地让学生 回答, 使全体学生受益. 2. 2 教学设计要/ 返璞归真0
16、如果说本节课设计数学史融入课堂是回归数 学发展的史实的话, 那么运用类比策略设计教学 不仅符合数学知识的发生发展过程, 也符合学生 数学学习的认知特点, 让学生在知识自然联系的 状态下进行数学学习. 由于实数与复数的本质存 在相似之处, 学生通过与实数有关的几何意义的 类比, 可以在发现复数的几何意义上得到启发, 从 而为复数的几何意义的意义建构明确了方向, 这 有助于学生理解和掌握复数的几何意义; 将实数 与复数的几何意义有机地联系起来, 还可以使知 识系统化, 对完善和形成新的认知结构是十分有 益的. 不仅如此, 有的学生受实数与复数的几何意 义类比的启发, 很自然地运用类比的策略, 将类比 推向三维空间, 创造性提出了/ 空间的点与什么数 对应0问题. 2. 3 数学教学要重视/ 以问题为纽带的教学0 希尔伯特指出:/ 数学问题是数学的灵魂0; 爱 因斯坦说:/ 提出一个问题往往比解决一个问题更 有意义0; 美国教育家布鲁巴克认为: / 最精湛的教 学艺术, 遵循的最高准则, 就是学生自己提出问 题0; 哈佛
