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1、线性抗震分析方法 一、振型（模态）叠加法 二、振型分解反应谱法,一、振型（模态）叠加法,多自由度运动方程的建立:,作用于i质点上的力有,惯性力,弹性恢复力,阻尼力,运动方程,根据振型分解原理，将耦合的运动方程化为解耦的等效单 自由度方程分别求解，然后将各振型反应叠加起来，获得 体系的总动力反应，称为振型（模态）叠加法。,(一) 振型分析,无阻尼多自由度体系的自由振动方程：,设体系的位移反应为：,特征方程,方程有解充要条件系数行列式为零,将上式所求的频率代入特征方程即可求得振型；,(二) 振型向量正交性,振型对质量矩阵的正交性的物理意义:：某一振型在振动过程中所引起的惯性力在其他振型上所做的功为
2、零； 振型对刚度矩阵的正交性的物理意义：体系按某一振型振动时，他的位能不会转移到其他振型上去；,瑞利阻尼模型,(三) 动力反应的振型分解,设,代入运动方程，得,方程两端左乘,-j振型广义质量,-j振型广义阻尼系数,-j振型广义刚度,-j振型的振型参与系数,* 地震荷载作用下,根据Duhamel积分，有阻尼等效单自由度体系的解为：,二、反应谱分析方法,利用单质点系统的反应谱来推定多质点系统的最大反 应值，这种方法称为反应谱的振型叠加法。 区别：以前的方法称为时间过程的振型叠加法，也可以得到系统反应的时间过程。 对于一个振型而言，其最大位移反应可以由各自的振型参与系数与相应于一定阻尼比和固有周期的
3、位移反应谱之间的乘积来表示，即：,(一) 振型分解反应谱法理论及背景,因此各振型的反应等价于一个单质点系统的反应，而当阻尼比从 范围内的地震反应谱给出之后，从这些曲线中就可以读得 ，从而可以十分简便地计算。,然而，不同振型的最大反应值一般没有同时性，系统总反应的最大值不可以用各振型的最大值的简单总和来表示，但可以作为理论上的最大值，若这个反应量用在设计中，就会大大偏于安全。,如何从每一个振型的最大值去推定最有可能发生的总反应量的最大值？,令,分别以,为平均值，,则根据所谓的中心极限定理（见概率论），它们的和,可近似地作为具有平均值,标准方差,的正态分布。特别是当,时，有,具有标准方差,的n个互
4、相独立的随机变量,平均值,标准方差,当u=f (t)为具有零均值的正态分布稳态振动量时，u 的最大量与其标准方差之比 =umax/的取值范围大体上在3-4.5之间变动。具体取值随振动量的持续时间和频率特性而变，它的取值范围总的来说是相当窄的。,如果假设上述变量 u1, u2, un和它们的和 y 也可采用同一个值，则：,代入 标准方差表达式，得,因此，系统总反应的最大值可以用各振型的最大值的 平方和开平方(SRSS)来求得。,(二) 振型分解反应谱法实现过程,多自由度运动方程：,由多自由度运动方程解耦可得：,对于单自由度体系,对于j振型折算体系（右图）,i质点相对于基础的位移与加速度为,i质点
5、t时刻的水平地震作用为,-t时刻第j振型i质点的水平地震作用,-体系j振型i质点水平地震作用标准值,-体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式,-t时刻第j振型i质点的水平地震作用,对于单自由度体系,- 相应于j振型自振周期的地震影响系数；,- j振型i质点的水平相对位移；,- j振型的振型参与系数；,- i质点的重力荷载代表值。,地震作用效应 （弯矩、位移等）,-j振型地震作用产生的地震效应；,m -选取振型数,- 体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式,一般只取2-3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。,非线性抗震分析方法 一、非线性时程分析方
6、法 二、弹塑性反应谱分析方法 三、静力弹塑性分析方法,一、非线性时程分析方法 （一）时程分析法产生的背景 （二）数值积分方法 （三）非线性方程组求解方法 （四）结构分析模型介绍 （五）非线性时程分析法的实现 （六）增量动力时程分析法简介,一、非线性时程分析方法,(一) 时程分析法产生的背景,1. 随机振动 地震动是随机的（豪斯纳，1947,1955）。 地震记录的积累。 这一分析方法的特点在于它认为地震动与结构地震反应都是随机现象，因而只能求得其统计特征，或者具有出现概率意义上的最大反应。 这一理论是与反应谱理论是并行的，前者从随机观点,处理了反应超过给定值的概率；后者从确定性概念，处理了复杂
7、频谱组成的地震动引起的结构反应。,2. 结构地震反应的数值分析及非线性振动反应 随着六十年代前后电子计算机的大量普及而兴起的结构反应数值分析以及强震观测记录和震害经验的积累，人们逐步认识到象反应谱那样的等效静力法，并不足以保证结构物的抗震安全，考虑全部地震动过程a(t)进行真正的结构反应动力分析，是非常必要的。 1971年圣费尔南多地震一周年学术讨论会中，多数人认为反应谱只谈到了问题的一半，还有重要因素尚待考虑，指出：“ 高层建筑要用真正的动力分析，才是经济的方法；重要结构也是如此。”。 七十年代国内外都有了比较成熟的计算程序，现正广泛使用于重要结构物与非线性反应中。 非线性反应分析虽然已经取
8、得了重要成果，但是结构物的振动破坏机理（机制）有许多问题尚待研究。,结构在大震作用下，会因局部损损坏而改变其动力特性，通常是刚度降低，阻尼加大，从而进入非线性反应阶段。 认识：只有通过非线性动力反应分析，才能揭示结构在地震作用下的真实反应。 历史：上世纪六十年代初，提出了很多方法，但实际应用的进展缓慢。 原因：方法不可靠；（计算）耗费大；难度大。 发展：上世纪八、九十年代，得益于有限元方法的提出和计算机技术的发展。,在非线性体系动力反应分析中，运动方程中的刚度矩阵 K 是位移 u 和 速度 的函数，随时间变化，在时间步长积分中，每一步都需重新计算， 即增量法。在小的时间步长内，结构的增量动力平
9、衡方程为：,(二) 数值积分方法介绍,式(1)在时域中的求解有两种数值方法，即显式积分方法和隐式积分方法。,在显式积分方法中，式(1)的平衡方程是对时间 t 建立的，表达式为,一般情况下，采用中心差分格式,显式积分方法：,根据 位移 可求得到位移向量,式(1)的平衡方程是对时间t+t建立的，表达式为,常采用Newmark和Wilson法进行求解：,隐式积分方法：,Newmark法,Newmark法的特点是假定加速度介于 之间为一常量 ，即所谓的常平均加速度假设。,可以表示为：,其中，为控制参数，满足0，1。为了获得稳定算法，还可以用另外参数控制，也满足0，1。,以t时间为原点，积分获得t+t时
10、刻的速度和位移，分别为 ：,(三) 非线性方程组求解方法,修正刚度法,在非线性反应中，当由弹性变为塑性时，其塑性与弹性刚度之比非常小，进入塑性后又会出现卸载和再加载的现象，而且所有刚度变化处都很突然。因此，在迭代求解过程中，常常会出现收敛速度缓慢或发散的问题，使得迭代法求解是不经济的。 修正刚度矩阵法的思想是在变刚度处修正刚度矩阵法，但不进行迭代。 （采用的本构关系模型是二折线或三折线） 注意： * 从数值方法的稳定性和从累积误差对反应的结果精度影响方面考虑，必须选取足够小的积分步长。 * 当刚度发生变化时，分段线性化的反应历史将引起不平衡荷载。 （1）积分步长的选取：稳定性、精度 （2）拐点
11、的处理,* 钢筋混凝土平面房屋结构 钢筋混凝土房屋结构非线性地震反应分析的力学模型一 般可分为三类, 即层间模型、杆系模型和平面应力元模型。 剪切模型以武藤清的D值法为主要代表，是一种最简单的层间模型。假设刚性楼板，即不考虑出平面自由度，不考虑楼层形变, 结构各楼层只有一个水平方面的自由度,它将结构各部分的质量集中在楼层,因而结构计算的自由度数目较少, 计算工作量较小。得到的计算结果是层间综合剪力和层间综合剪切位移的弹塑性关系。 应用这种模型的主要困难在于弹塑性层间刚度的确定。,(四) 简化分析模型介绍,层间多构件剪切模型, 能考虑同一层构件具有不同弹塑性 特征参数的情况。由于该模型假设梁的刚
12、度为无限大、采用 该模型计算强柱弱梁型框架显然过于粗糙、因此它只适用于 计算弱柱强梁型框架，为了提高计算结果的可靠度, 拓宽剪切 模型的适用范围, 青出博之建议在每一楼层增加一个反映弯曲 变形的水平弹簧, 用以描述上、下层侧向位移的弹塑性关系。 形成了所谓的层间剪弯力学模型。 层间模型的另一种形式主要是针对剪力墙体系而发展的 层间弯剪模型。 在结构非线性地震反应计算中, 采用层间模型可以大大减 少结构动力自由度数目,提高计算过程的效率。由于层间模型 过于粗糙, 除该模型分析结果可以给出薄弱楼层,对少数结构 较为有效外, 对很多结构, 一般只能给出定性的结果。,2 杆系模型 为了得到结构整体或各
13、杆件乃至任一截面在强烈地震作 用下的弹塑性变化过程, 人们提出了与实际结构更为接近的平 面杆系模型。平面杆系模型以结构杆件为基本单元，将梁、 柱、墙均简化为以中性轴表示的无质量杆, 将其质量堆聚在节 点处,或者采用考虑杆件质量分布的单元质量矩阵。利用构件 连接处的变形协调条件建立各构件变形关系，再利用构件的 恢复力特性集成整个结构的弹塑性刚度矩阵。然后采用数值 积分方法对结构进行地震反应分析。 杆件的非线性化主要有Clough的双分量模型、青山博之 的三分量模型、Giberson的单分量模型等。,3. 平面应力元模型 Agrawal (1981) 提出用于分析剪力墙体系的力学模型。 该模型将结
14、构划分为若干单元, 通过建立各单元的质量矩阵、 刚度矩阵, 按有限元集成规则形成结构的刚度矩阵、质量矩阵, 在选定适当的阻尼矩阵后, 即建立了结构的运动方程,其求解 可用一般的数值方法进行。 该模型的主要难点在于, 在二维复杂应力状态下, 钢筋的 力学性能以及混凝土在开裂、裂缝闭合、压碎时的力学性能, 以及钢筋、混凝土的结合性能等如何确定。,单元模型 层间模型有三种型式, 其相应的层间单元模型也不相同。 层间剪切模型对应的层间单元只涉及层间剪力与层间位 移的关系。 层间剪弯模型对应的层间单元则还要求确定各层间弯曲 弹簧参数, 这一工作是较复杂的, 但它考虑了相邻层间位移的 影响, 改善了剪切模
15、型的精度。 层间弯剪模型将框架部分简化为剪切杆, 将剪力墙简化为 弯曲杆, 框架- 剪力墙结构为剪切杆单元与弯曲杆单元的组合 体, 该模型的层间单元计算主要反映为剪切杆的层间剪切刚度 与弯曲杆的层间弯曲刚度的确定。层间三元件模型或二元件 模型对应的层间单元是拉压杆弹簧、水平弹簧和转动弹簧的 组合, 它刻划了剪力墙各层间的各种力学性质。,钢筋混凝土平面杆系单元的非线性分析已有大量的试验 与理论分析结果, 但总的来说, 可以归纳为两种类型的单元模 型, 即分量模型与变刚度模型。 将剪力墙视为平面应力问题进行分析, 需要用到平面应力 单元模型, 该模型可以是三角形、四边形或其它复杂形状, 其 关键在
16、于钢筋、混凝土材料力学性质的确定。,恢复力模型 恢复力模型一般都是根据试验来确定的。目前确定恢复力模 型的试验方法主要有三种, 即反复静载试验法、周期循环动载试 验法、振动台试验法。 目前, 国内外在工程计算中应用的恢复力模型很多, 概括地讲 可分为曲线型和折线型的。 曲线型恢复力模型给定的刚度是连续变化的, 与工程实际较 为接近。但在非线性地震反应计算中, 应用曲线型恢复力模型, 在 刚度的确定及计算方法的选择上有诸多不便。因此, 人们普遍使 用折线型恢复力模型。 折线型恢复力模型可分为七种类型, 它们是双线型、三线 型、四线型(带负刚度段) 、退化二线型、退化三线型、指向原点 型和滑移型。折线型恢复力模型的特点是简单实用, 但存在人为 的刚度拐点, 至于在实际应用中宜选用何种折线型恢复力模型, 应 根据结构及构件的具体情况, 以及计算者的需要而定。,美国,
